Các phiên bản rời rạc của một số hệ thống tích phân cổ điển và phân tích đa thức ma trận

Springer Science and Business Media LLC - Tập 139 - Trang 217-243 - 1991
Jürgen Moser1, Alexander P. Veselov2
1Forschungsinstitut für Mathematik ETH Zürich, Zürich, Switzerland
2Moscow State University, Moscow, USSR

Tóm tắt

Nghiên cứu này khảo sát các phiên bản rời rạc của một số hệ thống tích phân cổ điển, chẳng hạn như một tương tự rời rạc của đỉnh quay không có lực trong không gian nhiều chiều (các phương trình Euler-Arnold), chuỗi Heisenberg với các spin cổ điển và một hệ thống rời rạc mới trên đa tạp Stiefel. Tính tích phân được chứng minh với sự trợ giúp của một đại diện Lax-pair, và được tìm thấy thông qua việc phân tích các đa thức ma trận nhất định. Mô tả đầy đủ về động lực học được trình bày bằng các hàm Abel; dòng chảy trở nên tuyến tính trên một biến thể Prym tương ứng với một đường quang phổ. Phương pháp này cũng được áp dụng cho vấn đề bi-a trong không gian nội của một ellipsoid N chiều.

Từ khóa

#Hệ thống tích phân #đa thức ma trận #đa tạp Stiefel #hàm Abel #phương trình Euler-Arnold #chuỗi Heisenberg

Tài liệu tham khảo

Veselov, A.P.: Integration systems with discrete time and difference operators. Funct. Anal. Appl.22, 1–13 (1988) (Russian) Faddeev, L.D., Takhtadjan, L.A.: The quantum inverse scattering method and XYZ Heisenberg model. Uspekhi Mat. Nauk.34, 13–63 (1979) (Russian) Baxter, R.: Eight-vertex model in lattice statistics and one-dimensional anisotropic Heisenberg chain. Ann. Phys.76, 1–71 (1973) Pokrovsky, V.L., Khokhlachev, S.B.: Nonhomogeneous stationary states in Heisenberg model. Pisma v JETP22, 371–373 (1975) (Russian) Granovsky, Ya.I., Zhedanov, A.S.: Periodic structures on quantum spin chain. JETP89, 2156–2163 (1985) (Russian) Granovsky, Ya.I., Zhedanov, A.S.: The solution of domain type in a magnetic chain. Theor. Math. Phys.71, 145–153 (1987) (Russian) Veselov, A.P.: The integration of the stationary problem for classical spin chains. Theor. Math. Phys.71, 154–159 (1987) (Russian) Moser, J.: Various aspects of integrable hamiltonian systems. In: Proc. CIME Conf., Bressanone, Italy, June 1978, Prog. Math., Vol. 8. Basel: Birkhäuser 1980 Moser, J.: Integrable hamiltonian systems and spectral theory. Pisa: Lezioni Fermiane 1981 Moser, J.: Geometry of quadric and spectral theory. Chern Symposium 1979, Berkeley, pp. 147–188. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1980 Symes, W.: TheQR algorithm and scattering for the finite nonperiodic Toda lattice. Physica4D, 275–280 (1982) Deift, P., Li, L.C., Tomei, C.: Matrix factorizations and integrable systems. Commun. Pure Appl. Math.42, 443–521 (1989) Gohberg, I., Lancaster, P., Rodman, L.: Matrix polynomials. New York: Academic Press 1982 Dubrovin, B.A., Matveev, V.B., Novikov, S.P.: Nonlinear equations ofKdV type, finite-zone linear operators and abelian varieties. Russ. Math. Surv.31, (1), 59–146 (1976) Dubrovin, B.A.: Completely integrable hamiltonian system associated with matrix operators and abelian varieties. Funct. Anal. Appl.11, 28–41 (1977) Knörrer, H.: Geodesic on quadrics and a mechanical problem of Neumann. J. Reine Angew. Math.334, 69–78 (1982) Novikov, S.P.: Periodic problem forKdV equation, I. Funct. Anal. Appl.8 (3), 54–66 (1974) Adler, M., van Moerbeke, P.: Completely integrable systems, Euclidean Lie algebras and curves. Adv. Math.38, 267–317 (1980) Reiman, A., Semenov-Tyan-Shansky, M.: Reduction of hamiltonian systems, affine Lie algebras and Lax equations. Invent. Math.54, 81–101 (1979) Arnold, V.I.: Mathematical methods of classical mechanics. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1978 Pantazis, S.: Prym varieties and the geodesic flow onSO(n). Math. Ann.273, 297–316 (1986) Manakov, S.V.: Remarks on the integration of the Euler equations ofn-dimensional rigid body. Funct. Anal. Appl.10 (4), 93–94 (1976) (Russian) Dubrovin, B.A.: Theory of operators and real algebraic geometry. Lecture Notes in Math., Vol. 1334, pp. 42–59, Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1988 Bobenko, A.I.: Real algebraic-geometry solutions of Landau-Lifschitz equation in terms of Prym theta-functions. Funct. Anal. Appl.19, 6–19 (1985) Jacobi, C.G.J.: Sur la rotation d'un corps. In: Gesammelte Werke, 2. Band (1881) 291–352 Adams, M.R., Harnad, J., Previato, E.: Isospectral hamiltonian flows in finite and infinite dimensions. Commun. Math. Phys.117, 451–500 (1988) Neumann, C.: De problemato quodam mechanico quod ad primam integralium ultraellipticorum classem revocatur. J. Reine Angew. Math.56, 46–63 (1859) Veselov, A.P.: Geometry of hamiltonian systems, connected with nonlinear partial differential equations. Ph. D. Thesis, Moscow State University 1981 Veselov, A.P.: Confocal surfaces and integrable billiards on the sphere and in the Lobachevsky space. Reprint of the Forschungsinstitut für Mathematik, ETH Zürich 1989 Libermann, P., Marle, C.M.: Symplectic geometry and analytic mechanics. Dordrecht, Holland: Reidel 1987 (see Chap. IV, Theorem 4.8) Abrahams, R., Marsden, J.E.: Foundations of mechanics. New York: Benjamin Cummings 1978 (in particular, pp. 302–303) Deift, P.A., Li, L.C., Tomei, C.: Loop groups, discrete versions of some classical integrable systems, and rank 2 extensions. Preprint, Courant Inst. Math. Sci., November 1990 Mishchenko, A.S., Fomenko, A.T.: Euler equations on finite dimensional Lie groups. Izvestiya Akad. Nauk SSR, Ser. Math.42, 396–415 (1978)