Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Sóng cô lập rời rạc trong các hệ thống với tương tác phi địa phương và rào cản Peierls–Nabarro
Tóm tắt
Chúng tôi nghiên cứu một lớp phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc (DNLS) tập trung với các tương tác phi địa phương tổng quát. Chúng tôi chứng minh sự tồn tại của các sóng cô lập rời rạc ở vị trí trong và ngoài, xuất phát từ nghiệm tầm thường tại tần số điểm cuối của quang phổ liên tục của các sóng phân tán tuyến tính. Chúng tôi cũng chứng minh sự nhỏ mũ theo hàm số tần số - khoảng cách đến điểm phân nhánh của rào cản năng lượng Peierls–Nabarro (PNB), được đo bằng sự khác biệt trong các hàm Hamiltonian hoặc khối lượng được đánh giá trên các trạng thái trong và ngoài. Những kết quả này mở rộng những gì mà tác giả đã làm cho trường hợp các tương tác hàng xóm gần nhất đến một lớp lớn các tương tác ngắn hạn và dài hạn phi địa phương. Sự xuất hiện của các trạng thái trong và ngoài khác nhau là hệ quả của sự phá vỡ tính không đổi bề mặt không gian liên tục. PNB đóng vai trò trong động học của sự vận chuyển năng lượng trong các hệ thống lưới Hamiltonian phi tuyến như vậy. Lớp tương tác phi địa phương của chúng tôi được định nghĩa dựa trên các hệ số ghép nối, J_{m}, trong đó {m ∈ ℤ} là chỉ số vị trí lưới, với J_{m} ≈ m^{-1-2s}, s ∈ [1, ∞) và J_{m} ∼ e^{-γ|m|}, s = ∞, γ > 0 (Kac-Baker). Đối với s ≥ 1, sự phân nhánh được kích thích bởi các nghiệm của phương trình Schrödinger phi tuyến tập trung cubic (NLS) hiệu quả/hợp nhất. Tuy nhiên, đối với 1/4 < s < 1, sự phân nhánh được điều khiển bởi phương trình Schrödinger phi tuyến phân số, FNLS, với (-Δ)^s thay thế cho -Δ. Chứng minh dựa trên một chiến lược giảm thiểu Lyapunov-Schmidt áp dụng cho một công thức trong không gian động lượng. Các rào cản PN yêu cầu các ước lượng suy giảm đồng nhất thích hợp cho biến đổi Fourier rời rạc của sóng cô lập rời rạc DNLS. Một vai trò quan trọng cũng được đóng bởi tính không suy biến của trạng thái cơ sở của FNLS, mới được Frank, Lenzmann và Silvestrie chứng minh.
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Aceves A.B., De Angelis C., Luther G.G., Rubenchik A.M.: Modulational instability of continuous waves and one-dimensional temporal solitons in fiber arrays. Opt. Lett. 19, 1186–1188 (1994)
Aceves A.B., De Angelis C., Rubenchik A.M., Turitsyn S.K.: Multidimensional solitons in fiber arrays. Opt. Lett. 19, 329–331 (1994)
Baker, G.A. Jr.: One-dimensional order-disorder model which approaches a second-order phase transition. Phys. Rev. 122, 1477 (1961)
Barker, A.S. Jr., Sievers, A.J.: Optical studies of the vibrational properties of disordered solids. Rev. Mod. Phys. 47(Suppl. 2) (1975)
Benjamin T.B.: Internal waves of permanent form in fluids of great depth. J. Fluid Mech. 29, 559–562 (1967)
Bona J., Li Y.: Decay and analyticity of solitary waves. J. Math. Pures Appl. 76, 377–430 (1997)
Davydov A.S.: Theory of Molecular Excitons. Plenum Press, New York (1971)
Davydov A.S., Kislukha N.I.: Solitary excitons in one-dimensional molecular chains. Phys. Status Solidi (b) 59, 465–470 (1973)
Edwards H.M.: Riemann’s Zeta Function. Dover Books on Mathematics. Dover Publications, New York (2001)
Eilbeck J.C., Lomdahl P.S., Scott A.C.: The discrete self-trapping equation. Phys. D 16, 318–338 (1985)
Eisenberg H.S., Silberberg Y., Morandotti R., Boyd A., Aitchison J.S.: Discrete spatial optical solitons in waveguide arrays. Phys. Rev. Lett. 81, 3383–3386 (1998)
Eisenberg H.S., Silberberg Y., Morandotti R., Boyd A., Aitchison J.S.: Dynamics of discrete solitons in optical waveguide arrays. Phys. Rev. Let. 83, 2726–2729 (1999)
Frank, R., Lenzmann, E.: On ground states for the l 2-critical boson star equation (2010). arXiv:0910.2721
Frank R., Lenzmann E.: Uniqueness and nondegeneracy of ground states \({(- \delta )^s q + q - q^{\alpha + 1} = 0}\) in \({\mathbb{R}}\). Acta. Math. 210, 261–318 (2013)
Frank, R., Lenzmann, E., Silvestre, L.: Uniqueness of radial solutions for the fractional Laplacian. Commun. Pure Appl. Math. 69(9), 1671–1726 (2016)
Fröhlich J., Lenzmann E.: Blowup for nonlinear wave equations describing boson stars. Commun. Pure Appl. Math. 60, 1691–1705 (2007)
Gaididei Y., Mingaleev S., Christiansen P., Rasmussen K.: Effect of nonlocal dispersion on self-interacting excitations. Phys. Lett. A 222, 152–156 (1996)
Gaididei Y., Mingaleev S., Christiansen P., Rasmussen K.: Effect of nonlocal dispersion on self-trapping excitations. Phys. Rev. E 55, 6141–6150 (1997)
Havil J.: Gamma: Exploring Euler’s Constant. Princeton University Press, Princeton (2003)
Hennig H., Dorignac J., Campbell D.K.: Transfer of Bose–Einstein condensates through discrete breathers in an optical lattice. Phys. Rev. A 82, 053604–053612 (2010)
Hong, Y., Sire, Y.: A new class of traveling solitons for cubic fractional nonlinear schrodinger equations (2015). arXiv:1501.01415
Jenkinson, M.: Bifurcation of On-site and Off-site Solitary Waves of Discrete Nonlinear Schrödinger Type Equations. Ph.D. thesis, Columbia University (2015)
Jenkinson M., Weinstein M.I.: On-site and off-site bound states of the discrete nonlinear schrödinger equation and the peierls-nabarro barrier. Nonlinearity 29, 27–86 (2015)
Jenkinson, M., Weinstein, M.I.: Discrete solitary waves in systems with nonlocal interactions and the peierls-nabarro barrier (2016) (preprint). arXiv:1601.04598v1
Kac M., Helfand E.: Study of several lattice systems with long-range forces. J. Math. Phys. 4, 1078–1088 (1963)
Kevrekidis, P.: The Discrete Nonlinear Schrödinger Equation: Mathematical Analysis, Numerical Computations and Physical Perspectives, vol 232. Springer Tracts in Modern Physics. Springer, Berlin (2009)
Kevrekidis P.G., Gaididei Y.B., Bishop A.R., Saxena A.: Effects of competing short- and long-range dispersive interactions on discrete breathers. Phys. Rev. E 64, 066606 (2001)
Kevrekidis P., Weinstein M.I.: Dynamics of lattice kinks. Phys. D 142, 113–152 (2000)
Kirkpatrick K., Lenzmann E., Staffilani G.: On the continuum limit for discrete nls with long-range lattice interactions. Commun. Math. Phys. 317, 563–591 (2012)
Krieger J., Lenzmann E., Raphaël P.: Nondispersive solutions to the l 2-critical half-wave equation. Arch. Rat. Mech. Anal. 209, 61–129 (2013)
Kwong M.K.: Uniqueness of positive solutions of \({-\delta u + u = u^p}\) in \({\mathbb{R}^n}\). Arch. Rat. Mech. Anal. 105, 243–266 (1989)
Laskin N.: Fractional schrödinger equation. Phys. Rev. E 66, 056108–056125 (2002)
Lieb E.H., Yau H.-T.: The chandrasekhar theory of stellar collapse as the limit of quantum mechanics. Commun. Math. Phys. 112, 147–174 (1987)
MacKay R., Schneider G., Pelinovsky D.: Justification of the lattice equation for a nonlinear elliptic problem with a periodic potential. Commun. Math. Phys. 284, 803–831 (2008)
Mingaleev S., Christiansen P., Gaididei Y., Johannson M., Rasmussen K.: Models for energy and charge transport and storage in biomolecules. J. Biol. Phys. 25, 41–63 (1999)
Naether U., Vicencio R.A.: Mobility of high-power solitons in saturable nonlinear photonic lattices. Opt. Lett. 36, 1467–1469 (2011)
Nirenberg, L.: Topics in Nonlinear Functional Analysis, vol 6. Courant Institute Lecture NotesAmerican Mathematical Society, Providence, Rhode Island (2001)
Ono H.: Algebraic solitary waves in stratified fluids. J. Phys. Soc. Japan 39, 1082–1091 (1975)
Oxtoby O.F., Barashenkov I.V.: Moving solitons in the discrete nonlinear schrödinger equation. Phys. Rev. E 76, 036603 (2007)
Pelinovsky D., Schneider G.: Bounds on the tight-binding approximation for the gross-pitaevskii equation with a periodic potential. J. Differ. Equ. 248, 837–849 (2010)
Peyrard M., Kruskal M.D.: Kink dynamics in the highly discrete sine-gordon system. Phys. D 14, 88–102 (1984)
Riordan J.: Combinatorial Identities. Wiley, New York (1968)
Ros-Oton X., Serra J.: The pohozaev identity for the fractional laplacian. Arch. Ration. Mech. Anal. 213, 587–628 (2014)
Smerzi A., Trombettoni A., Kevrekidis P.G., Bishop A.R.: Dynamical superfluid-insulator transition in a chain of weakly coupled bose-einstein condensates. Phys. Rev. Lett. 89, 175504–175508 (2002)
Soffer A., Weinstein M.I.: Resonances, radiation damping and instability in hamiltonian nonlinear wave equations. Invent. Math. 136, 9–74 (1999)
Soffer A., Weinstein M.I.: Theory of nonlinear dispersive waves and selection of the ground state. Phys. Rev. Lett. 95, 213905 (2015)
Soffer A., Weinstein M.I.: Selection of the ground state for nonlinear schrödinger equations. Rev. Math. Phys. 16, 977–1071 (2004)
Strauss W.A.: Existence of solitary waves in higher dimensions. Comm. Math. Phys. 55, 144–162 (1977)
Sulem, C., Sulem, P.L.: The Nonlinear Schrödinger Equation: Self-Focusing and Wave Collapse, vol 139. Series in Mathematical Sciences. Springer, New York (1999)
Takeno S., Kisoda K., Sievers A.J.: Intrinsic localized vibrational modes in anharmonic crystals. Prog. Theor. Phys. 94, 242–269 (1988)
Tarasov V.E.: Continuous limit of discrete systems with long-range interaction. J. Phys. A 39, 14895–14910 (2006)
Tarasov V.E., Zaslavsky G.M.: Fractional dynamics of systems with long-range interaction. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 11, 885–989 (2006)
Weinstein M.I.: Existence and dynamic stability of solitary wave solutions of equations arising in long wave propagation. Commun. Partial Differ. Equ. 12, 1133–1173 (1987)
Weinstein M.I.: Excitation thresholds for nonlinear localized modes on lattices. Nonlinearity 12, 673–691 (1999)
Weinstein, M.I.: Localized states and dynamics in the nonlinear Schroedinger/Gross-Pitaevskii equation. In: Jones, C.K.R.T., Sandstede, B., Young, L.-S. (eds.) Dynamics of Partial Differential Equations. Frontiers in Applied Dynamical Systems (ch. 2), vol. 3. Springer, Berlin, pp. 41–79 (2015)
Weinstein M.I., Yeary B.: Excitation and dynamics of pulses in coupled fiber arrays. Phys. Lett. A 222, 157–162 (1996)
Wood, D.C.: The computation of polylogarithms, Tech. Report 15-92*, University of Kent, Computing Laboratory, University of Kent, Canterbury (1992)