Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Các Hệ Thống Lagrangian Phi Holonomic Rời Rạc Trên Các Nhóm Lie
Tóm tắt
Bài báo này nghiên cứu xây dựng các bộ tích hợp hình học cho các hệ thống phi holonomic. Chúng tôi phát triển một hình thức cho các phương trình Euler–Lagrange rời rạc phi holonomic trong một bối cảnh cho phép suy luận các bộ tích hợp hình học cho các hệ thống phi holonomic liên tục (có thể giảm bớt hoặc không). Hình thức này được trình bày theo các nhóm Lie, xác định một Lagrangian rời rạc và một đa tạp ràng buộc trên đó. Ngoài ra, cần thiết phải cố định một bó vector con của đại số Lie liên quan đến nhóm Lie. Chúng tôi cũng thảo luận về sự tồn tại của các toán tử tiến hóa phi holonomic theo các phép biến đổi Legendre rời rạc phi holonomic và theo các phân hoạch thích hợp của sự mở rộng của nhóm Lie. Việc định danh tính khả đảo của toán tử tiến hóa và phương trình động lượng phi holonomic rời rạc cũng được xem xét. Cuối cùng, chúng tôi minh họa với một số ví dụ cổ điển về phạm vi ứng dụng rộng rãi của lý thuyết (các hạt bị ràng buộc phi holonomic rời rạc, hệ thống Suslov, xe trượt Chaplygin, hệ thống Veselova, viên bi lăn trên bàn xoay và robot di động hai bánh trên mặt phẳng).
Từ khóa
#hệ thống phi holonomic #tích hợp hình học #phương trình Euler-Lagrange #đại số Lie #biến đổi LegendreTài liệu tham khảo
Arnold, V.I.: Mathematical Methods of Classical Mechanics. Graduate Text in Mathematics, vol. 60. Springer, New York (1978)
Bates, L., Śniatycki, J.: Nonholonomic reduction. Rep. Math. Phys. 32(1), 99–115 (1992)
Bloch, A.M.: Nonholonomic Mechanics and Control. Interdisciplinary Applied Mathematics Series, vol. 24. Springer, New York (2003)
Bloch, A.M., Krishnaprasad, P.S., Marsden, J.E., Murray, R.M.: Nonholonomic mechanical systems with symmetry. Arch. Rational Mech. Anal. 136, 21–99 (1996)
Bobenko, A.I., Suris, Y.B.: Discrete Lagrangian reduction, discrete Euler-Poincaré equations, and semidirect products. Lett. Math. Phys. 49, 79–93 (1999a)
Bobenko, A.I., Suris, Y.B.: Discrete time Lagrangian mechanics on Lie groups, with an application to the Lagrange top. Commun. Math. Phys. 204, 147–188 (1999b)
Cantrijn, F., de León, M., Marrero, J.C., Martín de Diego, D.: Reduction of nonholonomic mechanical systems with symmetries. Rep. Math. Phys. 42, 25–45 (1998)
Cantrijn, F., de León, M., Marrero, J.C., Martín de Diego, D.: Reduction of constrained systems with symmetries. J. Math. Phys. 40, 795–820 (1999)
Coste, A., Dazord, P., Weinstein, A.: Grupoïdes symplectiques. Publ. Dép. Math. Lyon A 2, 1–62 (1987)
Cortés, J.: Geometric, Control and Numerical Aspects of Nonholonomic Systems. Lecture Notes in Mathematics, vol. 1793. Springer, New York (2002)
Cortés, J., Martínez, S.: Nonholonomic integrators. Nonlinearity 14, 1365–1392 (2001)
Cortés, J., Martínez, E.: Mechanical control systems on Lie algebroids. IMA J. Math. Control. Inf. 21, 457–492 (2004)
Cortés, J., de León, M., Marrero, J.C., Martínez, E.: Nonholonomic Lagrangian systems on Lie algebroids. Preprint math-ph/0512003 (2005)
de León, M., Martín de Diego, D.: On the geometry of non-holonomic Lagrangian systems. J. Math. Phys. 37(7), 3389–3414 (1996)
de León, M., Marrero, J.C., Martín de Diego, D.: Mechanical systems with nonlinear constraints. Int. J. Teor. Phys. 36(4), 973–989 (1997)
de León, M., Martín de Diego, D., Santamaría-Merino, A.: Geometric integrators and nonholonomic mechanics. J. Math. Phys. 45(3), 1042–1064 (2004)
de León, M., Marrero, J.C., Martínez, E.: Lagrangian submanifolds and dynamics on Lie algebroids. J. Phys. A: Math. Gen. 38, R241–R308 (2005)
Fedorov, Y.N.: A discretization of the nonholonomic Chaplygin sphere problem. SIGMA 3, 044–059 (2007)
Fedorov, Y.N., Jovanovic, B.: Nonholonomic LR systems as generalized Chaplygin systems with an invariant measure and flows on homogeneous spaces. J. Nonlinear Sci. 14(4), 341–381 (2004)
Fedorov, Y.N., Zenkov, D.V.: Discrete nonholonomic LL systems on Lie groups. Nonlinearity 18, 2211–2241 (2005a)
Fedorov, Y.N., Zenkov, D.V.: Dynamics of the discrete Chaplygin sleigh. Discrete Contin. Dyn. Syst. Suppl. 258–267 (2005b)
Hairer, E., Lubich, C., Wanner, G.: Geometric Numerical Integration, Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. Springer Series in Computational Mathematics, vol. 31. Springer, Berlin (2002)
Iglesias, D., Marrero, J.C., Martín de Diego, D., Martínez, E.: Discrete Lagrangian and Hamiltonian Mechanics on Lie groupoids II: Construction of variational integrators (2007, in preparation)
Jalnapurkar, S.M., Leok, M., Marsden, J.E., West, M.: Discrete Routh reduction. J. Phys. A 39(19), 5521–5544 (2006)
Koiller, J.: Reduction of some classical non-holonomic systems with symmetry. Arch. Rational Mech. Anal. 118, 113–148 (1992)
Kobilarov, M., Sukhatme, G.: Optimal control using nonholonomic integrators. In: 2007 IEEE International Conference on Robotics and Automation, Roma, Italy, pp. 1832–1837. 10–14 April 2007
Leimkuhler, B., Reich, S.: Simulating Hamiltonian Dynamics. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge (2004)
Leok, M.: Foundations of computational geometric mechanics, control and dynamical systems. Thesis, California Institute of Technology (2004). Available in http://www.math.lsa.umich.edu/~mleok
Mackenzie, K.: General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids. London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 213. Cambridge University Press, Cambridge (2005)
Marrero, J.C., Martín de Diego, D., Martínez, E.: Discrete Lagrangian and Hamiltonian Mechanics on Lie groupoids. Nonlinearity 19(6), 1313–1348 (2006). Corrigendum: Nonlinearity 19(12), 3003–3004 (2006)
Marsden, J.E.: Park city lectures on mechanics, dynamics and symmetry. In: Eliashberg, Y., Traynor, L. (eds.) Symplectic Geometry and Topology. IAS/Park City Math. Ser., vol. 7, pp. 335–430. AMS, Providence (1999)
Marsden, J.E., Ratiu, T.S.: Introduction to Mechanics and Symmetry. Texts in Applied Mathematics, vol. 17. Springer, New York (1999)
Marsden, J.E., West, M.: Discrete Mechanics and variational integrators. Acta Numer. 10, 357–514 (2001)
Marsden, J.E., Pekarsky, S., Shkoller, S.: Discrete Euler–Poincaré and Lie–Poisson equations. Nonlinearity 12, 1647–1662 (1999a)
Marsden, J.E., Pekarsky, S., Shkoller, S.: Symmetry reduction of discrete Lagrangian mechanics on Lie groups. J. Geom. Phys. 36, 140–151 (1999b)
Martínez, E.: Lagrangian Mechanics on Lie algebroids. Acta Appl. Math. 67, 295–320 (2001a)
Martínez, E.: Geometric formulation of Mechanics on Lie algebroids. In: Proceedings of the VIII Fall Workshop on Geometry and Physics, Medina del Campo, 1999. Publicaciones de la RSME, vol. 2, pp. 209–222 (2001b)
Martínez, E.: Lie algebroids, some generalizations and applications. In: Proceedings of the XI Fall Workshop on Geometry and Physics, Oviedo, 2002. Publicaciones de la RSME, vol. 6, pp. 103–117 (2002)
McLachlan, R., Perlmutter, M.: Integrators for nonholonomic mechanical systems. J. Nonlinear Sci. 16, 283–328 (2006)
McLachlan, R., Scovel, C.: Open problems in symplectic integration. Fields Inst. Commun. 10, 151–180 (1996)
Mestdag, T.: Lagrangian reduction by stages for non-holonomic systems in a Lie algebroid framework. J. Phys. A: Math. Gen. 38, 10157–10179 (2005)
Mestdag, T., Langerock, B.: A Lie algebroid framework for nonholonomic systems. J. Phys. A: Math. Gen. 38, 1097–1111 (2005)
Moser, J., Veselov, A.P.: Discrete versions of some classical integrable systems and factorization of matrix polynomials. Commun. Math. Phys. 139, 217–243 (1991)
Neimark, J., Fufaev, N.: Dynamics on Nonholonomic Systems. Translation of Mathematics Monographs, vol. 33. AMS, Providence (1972)
Sanz-Serna, J.M., Calvo, M.P.: Numerical Hamiltonian Problems. Chapman&Hall, London (1994)
Saunders, D.: Prolongations of Lie groupoids and Lie algebroids. Houston J. Math. 30(3), 637–655 (2004)
Veselov, A.P., Veselova, L.E.: Integrable nonholonomic systems on Lie groups. Math. Notes 44, 810–819 (1989)
Weinstein, A.: Lagrangian mechanics and groupoids. Fields Inst. Commun. 7, 207–231 (1996)
Zenkov, D., Bloch, A.M.: Invariant measures of nonholonomic flows with internal degrees of freedom. Nonlinearity 16, 1793–1807 (2003)