Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Kiểm soát Dirichlet đối với các vấn đề ràng buộc trạng thái elliptic
Tóm tắt
Chúng tôi nghiên cứu một bài toán kiểm soát tối ưu Dirichlet có ràng buộc trạng thái và đưa ra ước lượng sai số a priori cho sự phân discret hóa phần tử hữu hạn của nó. Các ràng buộc kiểm soát bổ sung có thể được bao gồm hoặc không trong bài toán. Các ràng buộc trạng thái tại một điểm được quy định trong nội bộ của một miền đa giác lồi. Chúng tôi thu được các ước lượng sai số a priori cho chuẩn $$L^2(\varGamma )$$ có bậc $$h^{1-1/p}$$ cho các ràng buộc trạng thái thuần túy và $$h^{3/4-1/(2p)}$$ khi có ràng buộc kiểm soát bổ sung. Ở đây, p là một số thực phụ thuộc vào góc nội tại lớn nhất của miền. Khác với các vấn đề kiểm soát phân phối hoặc Neumann ví dụ, các hàm trạng thái liên quan đến kiểm soát Dirichlet $$L^2$$ có sự điều hòa rất thấp, tức là chúng là các phần tử của $$H^{1/2}(\varOmega )$$. Bằng cách xem xét các ràng buộc trạng thái trong nội bộ, chúng tôi tận dụng sự điều hòa nội tại cao hơn và tách biệt các ảnh hưởng giới hạn về điều hòa của biên một bên, và đại lượng ở phía bên phải của phương trình phụ liên quan đến các ràng buộc trạng thái ở bên kia. Chúng tôi lưu ý rằng trong trường hợp có các ràng buộc kiểm soát, các ràng buộc này có thể được hiểu như các ràng buộc trạng thái tại biên.
Từ khóa
#Kiểm soát tối ưu #ràng buộc trạng thái #Dirichlet #phân discret hóa #chuẩn L2Tài liệu tham khảo
Apel, T., Mateos, M., Pfefferer, J., Rösch, A.: On the regularity of the solutions of Dirichlet optimal control problems in polygonal domains (2014). Submitted
Berggren, M.: Approximations of very weak solutions to boundary-value problems. SIAM J. Numer. Anal. 42(2), 860–877 (2004)
Bergounioux, M., Ito, K., Kunisch, K.: Primal-dual strategy for constrained optimal control problems. SIAM J. Control Optim. 37(4), 1176–1194 (1999). doi:10.1137/S0363012997328609. (electronic)
Bourdaud, G., Sickel, W.: Composition operators on function spaces with fractional order of smoothness. In: Harmonic Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations, RIMS Kôkyûroku Bessatsu, B26, pp. 93–132. Res. Inst. Math. Sci. (RIMS), Kyoto (2011)
Bramble, J.H., King, J.T.: A robust finite element method for nonhomogeneous Dirichlet problems in domains with curved boundaries. Math. Comput. 63(207), 1–17 (1994). doi:10.2307/2153559
Brenner, S.C., Scott, L.R.: The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Springer, New York (1994)
Casas, E.: Control of an elliptic problem with pointwise state constraints. SIAM J. Control Optim. 24(6), 1309–1318 (1986)
Casas, E., Günther, A., Mateos, M.: A paradox in the approximation of Dirichlet control problems in curved domains. SIAM J. Control Optim. 49(5), 1998–2007 (2011). doi:10.1137/100794882
Casas, E., Mateos, M.: Uniform convergence of the FEM. Applications to state constrained control problems. Comput. Appl. Math. 21(1), 67–100 (2002). Special issue in memory of Jacques-Louis Lions
Casas, E., Mateos, M.: Numerical approximation of elliptic control problems with finitely many pointwise constraints. Comput. Optim. Appl. 51, 1319–1343 (2012)
Casas, E., Mateos, M., Raymond, J.P.: Penalization of Dirichlet optimal control problems. ESAIM Control Optim. Calc. Var. 15(4), 782–809 (2009). doi:10.1051/cocv:2008049
Casas, E., Mateos, M., Vexler, B.: New regularity results and improved error estimates for optimal control problems with state constraints. ESAIM Control Optim. Calc. Var. 20(3), 803–822 (2014). doi:10.1051/cocv/2013084
Casas, E., Raymond, J.P.: Error estimates for the numerical approximation of Dirichlet boundary control for semilinear elliptic equations. SIAM J. Control Optim. 45(5), 1586–1611 (2006). doi:10.1137/050626600. (electronic)
Casas, E., Raymond, J.P.: The stability in \(W^{s, p}(\varGamma )\) spaces of \(L^2\)-projections on some convex sets. Numer. Funct. Anal. Optim. 27(2), 117–137 (2006). doi:10.1080/01630560600569940
Ciarlet, P.G.: Basic error estimates for elliptic problems. In: Handbook of Numerical Analysis, Vol. II, Handbook of Numerical Analysis, II, pp. 17–351. North-Holland (1991)
Deckelnick, K., Günther, A., Hinze, M.: Finite element approximation of Dirichlet boundary control for elliptic PDEs on two- and three-dimensional curved domains. SIAM J. Control Optim. 48(4), 2798–2819 (2009). doi:10.1137/080735369
Deckelnick, K., Hinze, M.: Convergence of a finite element approximation to a state-constrained elliptic control problem. SIAM J. Numer. Anal. 45(5), 1937–1953 (2007)
Grisvard, P.: Elliptic Problems in Nonsmooth Domains. Pitman, Boston (1985)
Hinze, M., Pinnau, R., Ulbrich, M., Ulbrich, S.: Optimization with PDE Constraints, Mathematical Modelling: Theory and Applications, vol. 23. Springer, New York (2009)
Ito, K., Kunisch, K.: Semi-smooth Newton methods for state-constrained optimal control problems. Syst. Control Lett. 50(3), 221–228 (2003). doi:10.1016/S0167-6911(03)00156-7
Krumbiegel, K., Meyer, C., Rösch, A.: A priori error analysis for linear quadratic elliptic Neumann boundary control problems with control and state constraints. SIAM J. Control Optim. 48(8), 5108–5142 (2010). doi:10.1137/090746148
Leykekhman, D., Meidner, D., Vexler, B.: Optimal error estimates for finite element discretization of elliptic optimal control problems with finitely many pointwise state constraints. Comput. Optim. Appl. 55(3), 769–802 (2013). doi:10.1007/s10589-013-9537-8
May, S., Rannacher, R., Vexler, B.: Error analysis for a finite element approximation of elliptic Dirichlet boundary control problems. SIAM J. Control Optim. 51(3), 2585–2611 (2013). doi:10.1137/080735734
Merino, P., Neitzel, I., Tröltzsch, F.: On linear-quadratic elliptic control problems of semi-infinite type. Appl. Anal. 90(6), 1047–1074 (2011). doi:10.1080/00036811.2010.489187
Merino, P., Tröltzsch, F., Vexler, B.: Error estimates for the finite element approximation of a semilinear elliptic control problem with state constraints and finite dimensional control space. M2AN. Math. Model. Numer. Anal. 44(1), 167–188 (2010). doi:10.1051/m2an/2009045
Meyer, C.: Error estimates for the finite-element approximation of an elliptic control problem with pointwise state and control constraints. Control Cybern. 37(1), 51–83 (2008)
Rösch, A., Steinig, S.: A priori error estimates for a state-constrained elliptic optimal control problem. ESAIM Math. Model. Numer. Anal. 46(5), 1107–1120 (2012). doi:10.1051/m2an/2011076
Schatz, A.H., Wahlbin, L.B.: Interior maximum norm estimates for finite element methods. Math. Comput. 31(138), 414–442 (1977)
Stampacchia, G.: Le problème de Dirichlet pour les équations elliptiques du second ordre à coefficients discontinus. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 15, 189–258 (1965)