Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Kích thước của các sợi thông thường trong các ánh xạ liên tục
Tóm tắt
Trong một bài báo trước đây, Buczolich, Elekes và tác giả đã mô tả kích thước Hausdorff của các tập mức của một hàm liên tục có giá trị thực tổng quát (theo nghĩa của loại Baire) được định nghĩa trên một không gian metric compact K bằng cách giới thiệu khái niệm kích thước Hausdorff topo. Sau đó, tác giả đã mở rộng lý thuyết cho các ánh xạ từ K đến $${\mathbb {R}}^n$$. Mục tiêu chính của bài báo này là tổng quát hóa các kết quả liên quan cho kích thước topo và kích thước đóng gói và thu được những kết quả mới cho các không gian đủ đồng nhất K ngay cả trong trường hợp kích thước Hausdorff. Giả sử K là một không gian metric compact và kí hiệu bởi $${C(K,{\mathbb {R}}^n)}$$ là tập hợp các ánh xạ liên tục từ K đến $${\mathbb {R}}^n$$ được trang bị bởi chuẩn cực đại. Định nghĩa $${\begin{aligned} d_{*}^n(K)=\inf \left\{ \dim _{*}(K{\setminus } F): F\subset K \text { là } \sigma \text {-compact với } \dim _T F
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Alexandroff, P.: Dimensionstheorie. Ein Beitrag zur Geometrie der abgeschlossenen Mengen. Math. Ann. 106, 161–238 (1932)
Balka, R.: Inductive topological Hausdorff dimensions and fibers of generic continuous functions. Monatsh. Math. 174(1), 1–28 (2014)
Balka, R., Buczolich, Z., Elekes, M.: Topological Hausdorff dimension and level sets of generic continuous functions on fractals. Chaos Solitons Fractals 45(12), 1579–1589 (2012)
Balka, R., Buczolich, Z., Elekes, M.: A new fractal dimension: the topological Hausdorff dimension. Adv. Math. 274, 881–927 (2015)
Balka, R., Farkas, Á., Fraser, J.M., Hyde, J.T.: Dimension and measure for generic continuous images. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 38, 389–404 (2013)
Bishop, C.J., Peres, Y.: Fractals in Probability and Analysis. Cambridge University Press, Cambridge (2017)
Engelking, R.: Dimension Theory. North-Holland Publishing Company, Amsterdam (1978)
Engelking, R.: Theory of Dimension Finite and Infinite. Heldermann, Berlin (1995)
Falconer, K.: Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, 2nd edn. Wiley, Hoboken (2003)
Haase, H.: Non-\(\sigma \)-finite sets for packing measure. Mathematika 33(1), 129–136 (1986)
Howroyd, J.D.: On Hausdorff and packing dimension of product spaces. Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 119(4), 715–727 (1996)
Humke, P.D., Petruska, G.: The packing dimension of a typical continuous function is \(2\). Real Anal. Exch. 14, 345–358 (1988–89)
Hurewicz, W., Wallman, H.: Dimension Theory. Princeton University Press, Princeton (1948)
Hyde, J.T., Laschos, V., Olsen, L., Petrykiewicz, I., Shaw, A.: On the box dimensions of graphs of typical functions. J. Math. Anal. Appl. 391, 567–581 (2012)
Kechris, A.S.: Classical Descriptive Set Theory. Springer, Berlin (1995)
Kirchheim, B.: Hausdorff measure and level sets of typical continuous mappings in Euclidean spaces. Trans. Am. Math. Soc. 347(5), 1763–1777 (1995)
Kato, H.: Higher-dimensional Bruckner–Garg type theorem. Topol. Appl. 154(8), 1690–1702 (2007)
Kuratowski, K.: Topology II. Academic Press, New York (1968)
Liu, J., Tan, B., Wu, J.: Graphs of continuous functions and packing dimension. J. Math. Anal. Appl. 435(2), 1099–1106 (2016)
Mattila, P.: Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 44. Cambridge University Press, Cambridge (1995)
Mattila, P., Mauldin, R.D.: Measure and dimension functions: measurability and densities. Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 121(1), 81–100 (1997)
Mauldin, R.D., Williams, S.C.: On the Hausdorff dimension of some graphs. Trans. Am. Math. Soc. 298, 793–803 (1986)
Oxtoby, J.C.: The Banach-Mazur game and Banach’s category theorem. In: Dresher, M., Tucker, A.W., Wolfe, P. (eds.) Contributions to the Theory of Games. Annals of Mathematics Studies, vol. 39, pp. 159–163. Princeton University Press, Princeton (1957)