Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Các bài toán Cauchy xác định và ngẫu nhiên cho một lớp toán tử hyperbolic yếu trên $$\mathbb {R}^n$$
Tóm tắt
Chúng tôi nghiên cứu một lớp các bài toán Cauchy hyperbolic, liên quan đến các toán tử tuyến tính và hệ thống với các hệ số bị giới hạn theo đa thức, bội số biến thiên và đặc trưng tự hồi, được định nghĩa toàn cầu trên $$\mathbb {R}^n$$. Chúng tôi chứng minh tính khả thi tốt trong không gian Sobolev-Kato, với sự mất mát về độ mềm mại và sự suy giảm tại vô cùng. Chúng tôi cũng thu được kết quả về sự lan truyền của các điểm kỳ dị, theo các tập hợp mặt sóng mô tả sự tiến hóa của cả độ mềm mại và các điểm kỳ dị trong các phân phối ôn hòa. Hơn nữa, chúng tôi có thể chứng minh sự tồn tại của các nghiệm trường ngẫu nhiên cho các bài toán Cauchy ngẫu nhiên liên quan. Để đạt được các mục tiêu này, trước tiên chúng tôi thảo luận về các thuộc tính đại số của các tích phân lặp dành cho các họ toán tử tích phân Fourier phụ thuộc vào tham số thích hợp, liên quan đến các nghiệm đặc trưng, là cần thiết trong việc xây dựng nghiệm cơ bản. Đặc biệt, chúng tôi chỉ ra rằng, ngay cả với lớp toán tử này, tính tự hồi của các đặc trưng cũng ám chỉ các thuộc tính đổi chỗ cho các biểu thức như vậy.
Từ khóa
#bài toán Cauchy #toán tử hyperbolic yếu #không gian Sobolev-Kato #điểm kỳ dị #phân phối ôn hòa #nghiệm trường ngẫu nhiênTài liệu tham khảo
Abdeljawad, A.: Global microlocal analysis on \({\mathbb{R}}^d\) with applications to hyperbolic partial differential equations and modulation spaces. PhD Thesis, Università degli Studi di Torino (2019) http://hdl.handle.net/2318/1718409
Ascanelli, A., Cappiello, M.: Log-Lipschitz regularity for SG hyperbolic systems. J. Differ. Equ. 230, 556–578 (2006)
Ascanelli, A., Coriasco, S.: Fourier integral operators algebra and fundamental solutions to hyperbolic systems with polynomially bounded coefficients on \(\mathbb{R}^n\). J. Pseudo-Differ. Oper Appl. 6, 521–565 (2015)
Ascanelli, A., Coriasco, S., Süss, A.: Random-field solutions of linear hyperbolic stochastic partial differential equations with polynomially bounded coefficients. J. Pseudo-Differ. Oper. Appl. (2019). https://doi.org/10.1007/s11868-019-00290-6
Ascanelli, A., Coriasco, S., Süss, A.: Solution theory to semilinear hyperbolic stochastic partial differential equations with polynomially bounded coefficients. Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. 189, 111–574 (2019)
Ascanelli, A., Süß, A.: Random-field solutions to linear hyperbolic stochastic partial differential equations with variable coefficients. Stoch. Process. Appl. 128, 2605–2641 (2018)
Battisti, U., Coriasco, S.: Wodzicki residue for operators on manifolds with cylindrical ends. Ann. Glob. Anal. Geom. 40(2), 223–249 (2011)
Colombini, F., De Giorgi, E., Spagnolo, S.: Sur les équations hyperboliques avec des coefficients qui ne dépendent que du temps. Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa 6, 511–559 (1979)
Conus, D., Dalang, R.C.: The non-linear stochastic wave equation in high dimensions. Electron. J. Probab. 13, 629–670 (2008)
Cordes, H.O.: The Technique of Pseudodifferential Operators. Cambridge Univ. Press, Cambridge (1995)
Coriasco, S.: Fourier integral operators in SG classes I. Composition theorems and action on SG Sobolev spaces. Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino 57(4), 249–302 (1999)
Coriasco, S.: Fourier integral operators in SG classes II. Application to SG hyperbolic Cauchy problems. Ann. Univ. Ferrara 47, 81–122 (1998)
Coriasco, S.: Fourier Integral Operators in SG classes with Applications to Hyperbolic Cauchy Problems. PhD thesis, Universitá di Torino (1998)
Coriasco, S., Johansson, K., Toft, J.: Local wave-front sets of Banach and Fréchet types, and pseudo-differential operators. Monatsh. Math. 169, 285–316 (2013)
Coriasco, S., Johansson, K., Toft, J.: Global wave-front sets of Banach, Fréchet and Modulation space types, and pseudo-differential operators. J. Differ. Equ. 254(2013), 3228–3258 (2013)
Coriasco, S., Johansson, K., Toft, J.: Global wave-front properties for Fourier integral operators and hyperbolic problems. J. Fourier Anal. Appl. 22, 285–333 (2016)
Coriasco, S., Maniccia, L.: Wave front set at infinity and hyperbolic linear operators with multiple characteristics. Ann. Glob. Anal. Geom. 24, 375–400 (2003)
Coriasco, S., Panarese, P.: Fourier integral operators defined by classical symbols with exit behaviour. Math. Nachr. 242, 61–78 (2002)
Coriasco, S., Schulz, R.: Lagrangian submanifolds at infinity and their parametrization. J. Symplect. Geom. 15(4), 937–982 (2017)
Coriasco, S., Toft, J.: A calculus of Fourier integral operators with inhomogeneous phase functions on \(\mathbb{R}^d\). Indian J. Pure Appl. Math. 47(1), 125–166 (2016)
Dalang, R.C.: Extending martingale measure stochastic integral with applications to spatially homogeneous SPDEs. Electron. J. Probab. 4, 1–29 (1999)
Dalang, R.C., Frangos, N.: The stochastic wave equation in two spatial dimensions. Ann. Probab. 26(1), 187–212 (1998)
Egorov, Y.V., Schulze, B.-W.: Pseudo-Differential Operators Singularities, Applications. Birkhäuser, Basel (1997)
Hörmander, L.: The Analysis of Linear Partial Differential Operators, vol I–IV. Springer, Berlin (1983, 1985)
Kumano-go, H.: Pseudo-Differential Operators. MIT Press, Cambridge (1981)
Maniccia, L., Panarese, P.: Eigenvalue asymptotics for a class of md-elliptic \(\psi \)do’s on manifolds with cylindrical exits. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 181(3), 283–308 (2002)
Melrose, R.: Geometric Scattering Theory. Stanford Lectures. Cambridge University Press, Cambridge (1995)
Mizohata, S.: On the Cauchy problem. Notes and Reports in Mathematics in Science and Engineering, 3, Academic Press, Inc., Science Press, Orlando, Beijing (1985)
Morimoto, Y.: Fundamental solutions for a hyperbolic equation with involutive characteristics of variable multiplicity. Commun. Part. Differ. Equ. 4(6), 609–643 (1979)
Parenti, C.: Operatori pseudodifferenziali in \(\mathbb{R}^n\) e applicazioni. Ann. Mat. Pura Appl. 93, 359–389 (1972)
Saint Raymond, X.: Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton (1991)
Sanz-Solé, M., Süß, A.: The stochastic wave equation in high dimensions: Malliavin differentiability and absolute continuity. Electron. J. Probab. 18(64), 1 (2013)
Schrohe, E.: Spaces of weighted symbols and weighted Sobolev spaces on manifolds In: Cordes, H.O., Gramsch, B., Widom, H. (eds.) Proceedings, Oberwolfach, pp. 360–377. Springer LMN, New York (1986)
Schulz, R.: Microlocal Anal. Tempered Distrib. Niedersächsische Staats-und Universitätsbibliothek Göttingen, Diss (2014)
Schwartz, L.: Théorie des Distributions, 2nd edn. Hermann, Paris (2010)
Shubin, M.A.: Pseudodifferential Operators and Spectral Theory. Springer Series in Soviet Mathematics. Springer, Berlin (1987)
Taniguchi, K.: Multiproducts of Fourier integral operators and the fundamental solution for a hyperbolic system with involutive characteristics. Osaka J. Math. 21(1), 169–224 (1984)
Walsh, J. B.: École d’été de Probabilités de Saint Flour XIV, 1984, volume 1180 of Lecture Notes in Math, chapter An Introduction to Stochastic Partial Differential Equations. Springer, Berlin (1986)