Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Mô tả giới hạn của các hàm tích phân như là các hàm lưới trong phân tích phi chuẩn
Tóm tắt
Trong phân tích hàm, có nhiều khái niệm khác nhau về giới hạn cho một chuỗi bị chặn của các hàm $$L^1$$. Ngoài giới hạn tại điểm, không phải lúc nào cũng tồn tại, hành vi của một chuỗi bị chặn của các hàm $$L^1$$ có thể được mô tả thông qua giới hạn yếu-$$\star$$ hoặc bằng cách giới thiệu một khái niệm giới hạn có giá trị đo theo nghĩa của các phép đo Young. Làm việc trong phân tích phi chuẩn của Robinson, chúng tôi chỉ ra rằng đối với mỗi chuỗi bị chặn $$\{z_n\}_{n \in \mathbb {N}}$$ của các hàm $$L^1$$, tồn tại một hàm của miền siêu hữu hạn (tức là một hàm lưới) đại diện cho cả giới hạn yếu-$$\star$$ và các giới hạn của phép đo Young của chuỗi này. Kết quả này có các ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu các phương trình vi phân phi tuyến (PDE). Chúng tôi thảo luận về ví dụ của một phương trình parabol tiến-lùi kém đã được định hình.
Từ khóa
#giới hạn hàm tích phân #hàm L1 #phân tích phi chuẩn #giới hạn yếu #phép đo Young #phương trình vi phân phi tuyếnTài liệu tham khảo
Arkeryd, L.O., Cutland, N.J., Henson, C.W. (eds.): Nonstandard Analysis—Theory and Applications. Kluwer Academic Publications, Amsterdam (1997)
Balder, E.J.: Lectures on Young Measures, Cahiers de mathématiques de la décision 9514. Université Paris-Dauphine, CEREMADE, Paris (1995)
Ball, J. M.: A version of the fundamental theorem for Young measures, PDEs and Continuum Models of Phase Transitions: Proceedings of an NSF-CNRS Joint Seminar Held in Nice, France, January 18–22, (1988), https://doi.org/10.1007/BFb0024945
Benci, V.: Ultrafunctions and generalized solutions. In: Advanced Nonlinear Studies, 13, 461–486 (2013). arXiv:1206.2257
Benci, V., Luperi Baglini, L.: Generalized functions beyond distributions. Arab. J. Math. 4, 231–253 (2015)
Benci, V., Luperi Baglini, L.: A model problem for ultrafunctions, Variational and Topological Methods: Theory, Applications, Numerical Simulations, and Open Problems (2012). Electronic Journal of Differential Equations, Conference 21 (2014). ISSN: 1072-6691
Benci, V., Luperi Baglini, L.: A non-archimedean algebra and the Schwartz impossibility theorem. Monatshefte für Mathematik 176(4), 503–520 (2015)
Benci, V., Luperi Baglini, L.: Ultrafunctions and applications. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S 7(4), 593–616 (2014)
Bernstein, A., Robinson, A.: Solution of an invariant subspace problem of K. T. Smith and P. R. Halmos. Pac. J. Math. 16(3), 421–431 (1966)
Bertsch, M., Smarrazzo, F., Tesei, A.: Nonuniqueness of solutions for a class of forward-backward parabolic equations. Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. 137, 190–212 (2016). https://doi.org/10.1016/j.na.2015.12.028. (ISSN 0362-546X)
Bonnetier, E., Conca, C.: Approximation of Young measures by functions and application to a problem of optimal design for plates with variable thickness. Proc. R. Soc. Edin. Sect. A Math. 124(3), 399–422 (1994). https://doi.org/10.1017/S0308210500028717
Bottazzi, E.: Grid functions of nonstandard analysis in the theory of distributions and in partial differential equations. Adv. Math. 345, 429–482 (2019)
Bottazzi, E.: A grid function formulation of a class of ill-posed parabolic equations. J. Differ. Equ. 271, 39–75 (2021)
Bottazzi, E.: An existence result for a class of time-dependent PDEs in an algebra of generalized functions (in preparation)
van den Berg, I.P.: Discretisations of higher order and the theorems of Fa‘a di Bruno and DeMoivre-Laplace. J. Logic Anal. 5(6), 1–35 (2013). (ISSN 17599008)
van den Berg, I.P.: On the relation between elementary partial difference equations and partial differential equations. Ann. Pure Appl. Logic 92, 235–265 (1998)
Colombeau, J.F.: A general multiplication of distributions. Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 296, 357–360 (1983). (and subsequent notes presented by L. Schwartz)
Cutland, N.J.: Infinitesimal methods in control theory: deterministic and stochastic. Acta Applicandae Mathematicae 5, 105–135 (1986)
Davis, M.: Appl. Nonstandard Anal. Dover Publications Inc, Mineola (2005)
Deguchi, H., Oberguggenberger, M.: Propagation of singularities for generalized solutions to wave equations with discontinuous coefficients. SIAM J. Math. Anal. 48(1), 397–442 (2016). https://doi.org/10.1137/15M1032661
Demoulini, S.: Young measure solutions for a nonlinear parabolic equation of forward-backward type. SIAM J. Math. Anal. 27, 376–403 (1996)
DiPerna, R..J., Majda, A..J.: Oscillations and concentrations in weak solutions of the incompressible fluid equations. Commun. Math. Phys. 108, 667–689 (1987). https://doi.org/10.1007/BF01214424
Evans, L. C.: Weak convergence methods for nonlinear partial differential equations. CBMS Regional Conference Series in Mathematics Vol. 74 (1990) ISBN: 978-0-8218-0724-8
Giordano, P., Kunzinger, M., Vernaeve, H.: Strongly internal sets and generalized smooth functions. J. Math. Anal. Appl. 422(1), 56–71 (2015)
Goldblatt, R.: Lectures on the Hyperreals–An Introduction to Nonstandard Analysis, Graduate Texts in Mathematics, vol. 188. Springer, New York (1998). https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0615-6
Grosser, M., Kunzinger, M., Oberguggenberger, M., Steinbauer, R.: Geometric Theory of Generalized Functions with Applications to General Relativity. Springer Science and Business Media, New York (2013)
Hanqiao, F., St. Mary, D.F., Wattenberg, F.: Applications of nonstandard analysis to partial differential equations-I. The diffusion equation. Math. Model. 7, 507–523 (1986)
Hoskins, R.F., Pinto, J.S.: Hyperfinite representation of distributions. Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) 110, 363 (2000). https://doi.org/10.1007/BF02829532
Keiser, H.J.: Elementary Calculus—An Infinitesimal Approach, On-line Edition. Courier Corporation, Chelmsford (2000)
Kinoshita, M.: Non-standard representations of distributions I. Osaka J. Math. 25, 805–824 (1988)
Loeb, P.A., Wolff, M. (eds.): Nonstandard analysis for the working mathematician. Kluwer Academic Publishers, Amsterdam (2000)
Mascia, C., Terracina, A., Tesei, A.: Evolution of Stable Phases in Forward–Backward Parabolic Equations. Advanced Studies in Pure MathematicsMathematics, Asymptotic Analysis and Singularities 47-2, 451–478 (2007)
Nedeljkov, M., Oberguggenberger, M.: Ordinary differential equations with delta function terms. Publ. Inst. Math. (Beograd) (N.S.) 91(105), 125–135 (2012)
Oberguggenberger, M., Todorov, T.: An embedding of Schwartz distributions in the algebra of asymptotic functions. Int. J. Math. Math. Sci. 21, 417–428 (1998)
Plotnikov, P.I.: Passing to the limit with respect to viscosity in an equation with variable parabolicity direction. Differ. Equ. 30, 614–622 (1994)
Robinson, A.: Non-standard Analysis. North-Holland, Amsterdam (1966)
Schwartz, L.: Sur l’impossibilité de la multiplication des distributions. C. R. Acad. Sci. Paris 29, 847–848 (1954)
Slemrod, M.: Dynamics of measured valued solutions to a backward-forward heat equation. J. Dyn. Differ. Equ. 3, 1–28 (1991)
Smarrazzo, F.: On a class of equations with variable parabolicity direction. Discrete Contin. Dyn. Syst. 22, 729–758 (2008)
Strichartz, R.: A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms. CRC Press, New York (1994)
Stroyan, K.D., Luxemburg, W.A.J.: Introduction to the Theory of Infinitesimals. Academic Press, New York (1976)
Todorov, T. D.: Steady-State Solutions in an Algebra of Generalized Functions: Lightning, Lightning Rods and Superconductivity, Novi Sad Journal of Mathematics, 45(1), 2015
Todorov, T.D., Vernaeve, H.: Full algebra of generalized functions and non-standard asymptotic analysis. J. Logic Anal. 1, 205 (2008). https://doi.org/10.1007/s11813-008-0008-y
Webb, M.: Classical Young Measures in the Calculus of Variations. https://personalpages.manchester.ac.uk/staff/marcus.webb/pdfs/webbyoungmeasures.pdf (2013)