Đếm các giá trị riêng không ổn định trong các bài toán quang phổ Hamilton thông qua các toán tử giao hoán

Springer Science and Business Media LLC - Tập 354 - Trang 247-268 - 2017
Mariana Haragus1, Jin Li2, Dmitry E. Pelinovsky2
1Institut FEMTO-ST & LMB, Université Bourgogne Franche–Comté, Besançon, France
2Department of Mathematics, McMaster University, Hamilton, Canada

Tóm tắt

Chúng tôi trình bày một kết quả chung về việc đếm các giá trị riêng không ổn định của các toán tử tuyến tính có dạng J L, trong đó J và L lần lượt là các toán tử đối xứng và tự đối xứng. Giả sử tồn tại một toán tử tự đối xứng K sao cho các toán tử J L và J K giao hoán với nhau, chúng tôi chứng minh rằng số lượng giá trị riêng không ổn định của J L bị giới hạn bởi số lượng giá trị riêng không dương của K. Như một ứng dụng, chúng tôi thảo luận về sự ổn định ngang của các sóng tuần hoàn một chiều trong phương trình KP-II (Kadomtsev–Petviashvili) cổ điển. Chúng tôi cho thấy rằng các sóng tuần hoàn một chiều này là ổn định quang phổ ngang đối với các nhiễu loạn giới hạn hai chiều tổng quát, bao gồm các nhiễu loạn tuần hoàn và cục bộ theo cả chiều dọc và chiều ngang, và rằng chúng ổn định tuyến tính ngang đối với các nhiễu loạn doubly tuần hoàn.

Từ khóa

#giá trị riêng không ổn định #toán tử tự đối xứng #ổn định quang phổ #sóng tuần hoàn một chiều #nhiễu loạn hai chiều

Tài liệu tham khảo

Ablowitz, M.J., Segur, H.: Solitons and the inverse scattering transform. SIAM Studies in Applied Mathematics, vol. 4. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia (1981) Alejo M.A., Munoz C.: Nonlinear stability of MKdV breathers. Commun. Math. Phys 324, 233–262 (2013) Angulo, P.J.: Nonlinear dispersive equations. Existence and stability of solitary and periodic travelling wave solutions. In: Mathematical Surveys and Monographs, vol. 156. American Mathematical Society, Providence, RI (2009) Bottman N., Deconinck B.: KdV cnoidal waves are linearly stable. Discrete Contin. Dyn. Syst. A 25, 1163–1180 (2009) Bottman N., Deconinck B., Nivala M.: Elliptic solutions of the defocusing NLS equation are stable. J. Phys. A: Math. Theor. 44, 285201 (2011) p. 24 Buffoni B., Groves M.D., Sun S.M., Wahlén E.: Existence and conditional energetic stability of three-dimensional fully localised solitary gravity-capillary water waves. J. Differ. Equ. 254, 1006–1096 (2013) Chugunova M., Pelinovsky D.E.: Count of eigenvalues in the generalized eigenvalue problem. J. Math. Phys. 51, 052901 (2010) Deconinck B., Kapitula T.: The orbital stability of the cnoidal waves of the Korteweg de Vries equation. Phys. Lett. A 374, 4018–4022 (2010) Deconinck, B., Kapitula, T.: On the spectral and orbital stability of spatially periodic stationary solutions of the generalized Korteweg–de Vries equations. In: Hamiltonian Partial Differential Equations and Applications. Fields Institute Communications, vol. 75, pp. 285–322. Fields Institute for Research in Mathematical Sciences, Toronto, ON (2015) Hakkaev S., Stanislavova M., Stefanov A.: Transverse instability for periodic waves of KP-I and Schrödinger equations. Indiana Univ. Math. J. 61, 461–492 (2012) Gallay T., Pelinovsky D.E.: Orbital stability in the cubic defocusing NLS equation. Part I: cnoidal periodic waves. J. Differ. Equ. 258, 3607–3638 (2015) Gallay T., Pelinovsky D.E.: Orbital stability in the cubic defocusing NLS equation. Part II: the black soliton. J. Differ. Equ. 258, 3639–3660 (2015) Hadac M., Herr S., Koch H.: Well-posedness and scattering for the KP-II equation in a critical space. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 26, 917–941 (2009) Haragus M.: Transverse spectral stability of small periodic traveling waves for the KP equation. Stud. Appl. Math. 126, 157–185 (2010) Haragus M.: Transverse dynamics of two-dimensional gravity–capillary periodic water waves. J. Dyn. Differ. Equ. 27, 683–703 (2015) Haragus M., Kapitula T.: On the spectra of periodic waves for infinite-dimensional Hamiltonian systems. Phys. D 237, 2649–2671 (2008) Johnson E.R., Pelinovsky D.E.: Orbital stability of periodic waves in the class of reduced Ostrovsky equations. J. Diff. Equ. 26, 3268–3304 (2016) Johnson M.A., Zumbrun K.: Transverse instability of periodic traveling waves in the generalized Kadomtsev–Petviashvili equation. SIAM J. Math. Anal. 42, 2681–2702 (2010) Kadomtsev B.B., Petviashvili V.I.: On the stability of solitary waves in weakly dispersive media. Sov. Phys. Dokl. 15, 539–541 (1970) Kapitula T.: On the stability of N-solitons in integrable systems. Nonlinearity 20, 879–907 (2007) Kapitula T., Kevrekidis P.G., Sandstede B.: Counting eigenvalues via the Krein signature in infinite-dimensional Hamiltonian systems. Phys. D 195, 263–282 (2004) Kapitula, T., Promislow, K.: Spectral and dynamical stability of nonlinear waves. In: Applied Mathematical Sciences, vol. 185. Springer, New York (2013) Klein C., Saut J.C.: Numerical study of blow up and stability of solutions of generalized Kadomtsev–Petviashvili equations. J. Nonlinear Sci. 22, 763–811 (2012) Klein, C., Sparber, C.: Transverse stability of periodic traveling waves in Kadomtsev–Petviashvili equations: a numerical study, In: Recent Advances in Harmonic Analysis and Partial Differential Equations. Contemporary Mathematics, vol. 581, pp. 155–168. AMS, Providence, RI (2012) Kuznetsov E.A., Spector M.D., Falkovich G.E.: On the stability of nonlinear waves in integrable models. Phys. D 10, 379–386 (1984) Li, J.: M.Sc. thesis. McMaster University, Hamilton, ON (2017) Maddocks J.H., Sachs R.L.: On the stability of KdV multi-solitons. Commun. Pure Appl. Math. 46, 867–901 (1993) Mizumachi, T.: Stability of line solitons for the KP-II equation in \({\mathbb{R}^2}\). Memoirs of the AMS, vol. 238, no. 1125 (2015) Mizumachi T., Tzvetkov N.: Stability of the line solitons of the KP-II equation under periodic transverse perturbations. Math. Ann. 352, 659–690 (2012) Molinet L., Saut J.C., Tzvetkov N.: Global well-posedness for the KP-I equation. Math. Ann. 324, 255–275 (2007) Molinet L., Saut J.C., Tzvetkov N.: Global well-posedness for the KP-I equation on the background of a non-localized solution. Commun. Math. Phys. 272, 775–810 (2007) Nivala M., Deconinck B.: Periodic finite-genus solutions of the KdV equation are orbitally stable. Phys. D 239, 1147–1158 (2010) Novikov, S., Manakov, S.V., Pitaevskii, L.P., Zakharov, V.E.: Theory of Solitons: The Inverse Scattering Method. Consultants Bureau [Plenum], New York (1984) Pelinovsky D. E., Shimabukuro Y.: Orbital stability of Dirac solitons. Lett. Math. Phys. 104, 21–41 (2014) Rousset F., Tzvetkov N.: A simple criterion of transverse linear instability for solitary waves. Math. Res. Lett. 17, 157–167 (2010) Rousset F., Tzvetkov N.: Stability and instability of the KDV solitary wave under the KP-I flow. Commun. Math. Phys. 313, 155–173 (2012) Rousset F., Tzvetkov N.: Transverse instability of the line solitary water-waves. Invent. Math. 184, 257–388 (2011) Spector M.D.: Stability of cnoidal waves in media with positive and negative dispersion. Sov. Phys. JETP 67, 104–112 (1988)