Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Tốc độ hội tụ của tính tương đồng siêu âm cho dòng chảy dòng tiềm năng ổn định qua lưỡi gà hai chiều Lipschitz
Tóm tắt
Bài báo này dành riêng để thiết lập tốc độ hội tụ của tính tương đồng siêu âm đối với dòng chảy Euler không quay và không nhớt qua một lưỡi gà mảnh hai chiều Lipschitz trong không gian $$BV \cap L^1$$. Tốc độ mà chúng tôi thiết lập tương ứng với tốc độ được dự đoán bởi định luật Newton-Busemann (xem (3.29) trong [2, trang 67] để biết thêm chi tiết) khi số Mach đến $${\text {M}_{\infty } \rightarrow \infty}$$ cho một tham số tương đồng siêu âm K cố định. Tính tương đồng siêu âm, còn được gọi là nguyên lý độc lập số Mach, tương đương với lý thuyết tương đồng Van Dyke sau: Đối với một tham số tương đồng siêu âm K nhất định, khi số Mach của dòng chảy đủ lớn, các phương trình điều khiển sau khi quy mô được xấp xỉ bằng một phương trình giản lược hơn, được gọi là phương trình rối loạn nhỏ siêu âm. Để đạt được tốc độ hội tụ, chúng tôi xấp xỉ biên cong bằng các đoạn thẳng và tìm một ánh xạ liên tục Lipschitz mới $$\mathcal {P}_{h}$$ sao cho quỹ đạo có thể được thu được bằng cách nối các nghiệm Riemann gần biên được xấp xỉ. Tiếp theo, chúng tôi suy diễn các ước lượng khác biệt $$L^1$$ giữa các nghiệm xấp xỉ $$U^{(\tau )}_{h,\nu }(x,\cdot )$$ cho bài toán giá trị biên khởi đầu đối với các phương trình đã được thay đổi kích thước và quỹ đạo $$\mathcal {P}_{h}(x,0)(U^{\nu }_{0})$$ bằng cách kết hợp tất cả các người giải Riemann. Sau đó, nhờ vào tính duy nhất và tính gọn của $$\mathcal {P}_{h}$$ và $$U^{(\tau )}_{h,\nu }$$, chúng tôi có thể tiếp tục thiết lập các ước lượng $$L^1$$ của bậc $$\tau ^2$$ giữa các nghiệm của bài toán giá trị biên khởi đầu đối với các phương trình đã được thay đổi kích thước và các nghiệm của bài toán giá trị biên khởi đầu đối với phương trình rối loạn nhỏ siêu âm, nếu các biến thiên tổng của dữ liệu ban đầu và đạo hàm tiếp tuyến của biên đủ nhỏ. Dựa trên điều này, chúng tôi có thể tiếp tục thiết lập một tốc độ hội tụ tốt hơn bằng cách xem xét dòng chảy siêu âm qua một cánh mảnh hai chiều Lipschitz và chỉ ra rằng đối với chiều dài của cánh với hiệu ứng quy mô bằng $O(\tau ^{-1})$, tức là, tốc độ hội tụ $$L^1$$ giữa hai nghiệm là bậc $$O(\tau ^{\frac{3}{2}})$$ dưới giả định rằng sự nhiễu ban đầu có hỗ trợ gọn.
Từ khóa
#tương đồng siêu âm #dòng chảy Euler không quay #lưỡi gà Lipschitz #phương trình rối loạn nhỏ siêu âm #tốc độ hội tụTài liệu tham khảo
Amadori, D.: Initial-boundary value problem for nonlinear systems of conservation laws. Nonlinear Differ. Equ. Appl. 4, 1–42 (1997)
Anderson, J.: Hypersonic and High-Temperature Gas Dynamics, 2nd edn. AIAA Education Series, Reston (2006)
Bressan, A.: Hyperbolic Systems of Conservation Laws. The One-Dimensional Cauchy Problem. Oxford University Press, Oxford (2000)
Chen, G.-Q., Christoforou, C., Zhang, Y.: Dependence of entropy solutions with large oscillations to the Euler equations on the nonlinear flux functions. Indiana Univ. Math. J. 56, 2535–2568 (2007)
Chen, G.-Q., Christoforou, C., Zhang, Y.: Continuous dependence of entropy solutions to the Euler equations on the adiabatic exponent and Mach number. Arch. Ration. Mech. Anal. 189, 97–130 (2008)
Chen, G.-Q., Kuang, J., Zhang, Y.: Two-dimensional steady supersonic exothermically reacting Euler flow past Lipschitz bending walls. SIAM J. Math. Anal. 49, 818–873 (2017)
Chen, G.-Q., Li, T.-H.: Well-posedness for two-dimensional steady supersonic Euler flows past a Lipschitz wedge. J. Differ. Equ. 244, 1521–1550 (2008)
Chen, G.-Q., Wang, D.-H.: The Cauchy problem for the Euler equations for compressible fluids. Handbook of Mathematical Dynamics, pp. 421–543. Elsevier, Amsterdam (2002)
Chen, G.-Q., Xiang, W., Zhang, Y.: Weakly nonlinear geometric optics for hyperbolic systems of conservation laws. Comm. Partial Differ. Equ. 38, 1936–1970 (2015)
Chen, G.-Q., Zhang, Y., Zhu, D.-W.: Existence and stability of supersonic Euler flows past Lipschitz wedges. Arch. Ration. Mech. Anal. 181, 261–310 (2006)
Colombo, R.M., Guerra, G.: On general balance laws with boundary. J. Differ. Equ. 248, 1017–1043 (2010)
Courant, R., Friedrichs, K.O.: Supersonic Flow and Shock Waves. Interscience Publishers Inc., New York (1948)
Van Dyke, M.: A Study of Hypersonic Small Disturbance Theory, NACA Rept., 1194, (1954)
Kuang, J., Xiang, W., Zhang, Y.: Hypersonic similarity for the two dimensional steady potential flow with large data. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 37, 1379–1423 (2020)
Landau, L., Lifschitz, E.: Fluid Mechanics, 2nd edn. Elsevier Ltd., Singapore (2004)
Liu, T.-P.: Decay to \(N\)-waves of solutions of general system of nonlinear hypersonic conservation law. Comm. Pure Appl. Math. 30, 585–610 (1977)
Jin, Y., Qu, A., Yuan, H.: On two-dimensional steady hypersonic-limit Euler flows passing ramps and radon measure solutions of compressible Euler equations, arXiv:1909.03624 (2019)
Jin, Y., Qu, A., Yuan, H.: Radon measure solutions for steady compressible hypersonic-limit Euler flows passing cylindrically symmetric conical bodies. Commun. Pure Appl. Anal. (2021). https://doi.org/10.3934/cpaa.2021048
Qu, A., Yuan, H.: Radon measure solutions for steady compressible Euler equations of hypersonic-limit conical flows and Newton’s sine-squared law. J. Differ. Equ. 269, 495–522 (2020)
Qu, A., Yuan, H., Zhao, Q.: Hypersonic limit of two-dimensional steady compressible Euler flows passing a straight wedge. Z. Angew. Math. Mech. 100, e201800225 (2020)
Tsien, H.-S.: Similarity laws of hypersonic flows. J. Math. Phys. 25, 247–251 (1946)
Smoller, J.: Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations, 2nd edn. Springer-Verlag Inc, New York (1994)
Zhang, Y.: Global existence of steady supersonic potential flow past a curved wedge with piecewise smooth boundary. SIAM J. Math. Anal. 31, 166–183 (1999)
Zhang, Y.: Steady supersonic flow past an almost straight wedge with large vertex angle. J. Differ. Equ. 192, 1–46 (2003)
Zhang, Y.: On the irrotational approximation to steady supersonic flow. Z. Angew. Math. Phys. 58, 209–223 (2007)