Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Sự hội tụ của các tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên độc lập
Tóm tắt
Giả sử {Xk} là một chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập và đồng phân phối (i.i.d.) với phân phối được ký hiệu là F(x). Trong phần đầu của bài báo, chúng tôi nghiên cứu sự hội tụ yếu của các phân phối Fn(x) của các tổng
$$S_n = \Sigma _{k = 1}^{m_k } a_{nk}^{1/a} X_k - A_n $$
, trong đó 0<α≤2, ank>0, 1≤k≤mn, và khi n→∞, cả hai điều kiện sau sẽ được thoả mãn:
$$\Sigma _{k = 1}^{m_n } a_k \to 1$$
. Chúng tôi chứng minh rằng sự hội tụ như vậy, với các An được chọn một cách hợp lý và các định luật giới hạn cần thiết có tính ổn định, xảy ra cho tất cả các mảng {αnk} miễn là nó đúng cho trường hợp đặc biệt αnk=1/n, 1≤k≤n. Các điều kiện cần thiết và đủ cho sự hội tụ này là cổ điển. Các điều kiện được đưa ra để hội tụ của các mô men của chuỗi {Fn(x)}, cũng như cho sự hội tụ trung bình của nó. Phần thứ hai của bài báo đề cập đến sự hội tụ hầu như chắc chắn của các tổng
$$S_n = \left( {1/b_n } \right)\Sigma _{k = 1}^n a_k X_k - A_n $$
, trong đó an≠0, bn>0, vàmax
1≤k≤n ak/bn→0. Định luật mạnh được cho là giữ nếu tồn tại các hằng số An sao cho Sn→0 hầu như chắc chắn. Đặt N(0)=0 và N(x) bằng số n≥1 sao cho bn/|an|0. Kết quả chính được trình bày như sau. Nếu định luật mạnh giữ, thì EN (|X1|)<∞. Nếu
$$\int_{ - \infty }^\infty {\left| x \right|^p } \int_{\left| x \right|}^\infty {N\left( y \right)} /y^{p + 1} dydF< \infty $$
với một số 0
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
A. Adler and A. Rosalsky, “On the strong law of large numbers for normed weighted sums of i.i.d. random variables,”Stoch. Anal. Appl.,5, No. 4, 467–483 (1987).
A. Adler and A. Rosalsky, “Some general strong laws for weighted sums of stochastically dominated random variables,”Stoch. Anal. Appl.,5, No. 1, 1–16 (1987).
A. Adler and A. Rosalsky, “On the Chow-Robbins ‘fair’ game problem,”Bull. Inst. Math. Acad. Sinica. 17, No. 3, 211–227 (1989).
S. N. Bernstein, “Quelques remarques sur le théorème limite Liapounoff,”Dokl. Akad. Nauk SSSR,24, 3–8 (1939).
Y. S. Chow and H. Teicher,Probability Theory, Independence, Interchangeability, Martingales, Springer-Verlag, Berlin-New York (1988).
C. G. Esseen, “On mean central limit theorems,”Kugl. Tekn. Högsk. Handl. Stockholm (trans.Roy. Inst. Tech. Stockholm), No. 121, 1–31 (1958).
B. V. Gnedenko and A. N. Kolmogorov,Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables, [English translation], Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1954).
C. C. Heyde, “On almost sure convergence for sums of independent random variables,”Sankhya (Ser. A),30, 353–358 (1968).
B. Jamison, S. Orey, and W. Pruitt, “Convergence of weighted averages of independent random variables,”Z. Wahr.,4, 40–44 (1965).
K. Knopp,Infinite Sequences and Series, Dover (1956).
V. M. Kruglov, “Convergence of numerical characterics of sums of independent random variables with values in a Hilbert space,”Teor. Veroyatn. Primen.,18, 724–752 (1973).
V. M. Kruglov, “Global limit theorems,”J. Sov. Math.,16, No. 5, 1396–1403 (1981).
M. Loève,Probability Theory I, Springer-Verlag, Berlin-New York (1977).
V. V. Petrov,Sums of Independent Random Variables, Springer-Verlag, Berlin-New York (1975).
A. Rosalskii, “Strong stability of normed weighted sums of pairwise i.i.d. random variables,”Inst. Math. Acad. Sinica,15, No. 2, 203–219 (1987).
W. Feller,An Introduction to Probability Theory and Its Application, Wiley, New York (1968).