Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Sự hội tụ của chuyển động tinh thể ba chiều đến dòng cong Gauss
Tóm tắt
Chúng tôi giới thiệu một chuyển động tinh thể ba chiều có hình dạng Wulff là một đa diện lồi (Wk). Chúng tôi chứng minh rằng chuyển động tinh thể này hội tụ vào chuyển động theo cong Gauss trong ℝ3 với điều kiện các đa diện (Wk) hội tụ về hình cầu đơn vị B3 và có tính đối xứng với gốc tọa độ. K. Ishii và H. M. Soner đã chỉ ra sự hội tụ của chuyển động tinh thể hai chiều đến dòng rút ngắn đường cong thông qua một loại phương pháp hàm kiểm tra bị nhiễu. Chúng tôi áp dụng phương pháp của họ để chứng minh kết quả của mình với sự hỗ trợ từ lý thuyết bài toán Minkowski.
Từ khóa
#chuyển động tinh thể #hình dạng Wulff #cong Gauss #hội tụ #lý thuyết bài toán MinkowskiTài liệu tham khảo
B. Andrews, Gauss curvature flow: the fate of the rolling stones. Inventione Mathematicae,138 (1999), 151–161.
B. Andrews, Motion of hypersurfaces by Gauss curvature. Pacific J. Math.,195 (2000), 1–34.
B. Andrews, Singularities in crystalline curvature flows. Asian J. Math.,6 (2002), 101–121.
S. Angenent and M.E. Gurtin, Multiphase thermomechanics with interfacial structure 2. Evolution of an isothermal interface. Arch. Rational Mech. Anal.,108 (1989), 323–391.
G. Bellettini, M. Novaga and M. Paolini, Facet-breaking for three-dimensional crystals evolving by mean curvature. Interfaces Free Bound.,1 (1999), 39–55.
G. Bellettini, M. Novaga and M. Paolini, Characterization of facet breaking for nonsmooth mean curvature flow in the convex case. Interfaces Free Bound.,3 (2001), 415–446.
B. Chow, Deforming convex hypersurfaces by then th root of the Gaussian curvature. J. Differential Geometry,22 (1985), 117–138.
L.C. Evans, The perturbed test function method for viscosity solutions of nonlinear PDE. Proc. Royal Soc. Edinburgh,111 (1989), 359–375.
W.J. Firey, Shapes of worn stones. Mathematika, 21 (1974), 1–11.
T. Fukui and Y. Giga, Motion of a graph by nonsmooth weighted curvature. World Congress of Nonlinear Analysis ’92 (ed. V. Lakshmikantham), Walter de Gruyter, 1996, 47–56.
M.-H. Giga and Y. Giga, Stability for evolving graphs by nonlocal weighted curvature. Comm. in PDE,24 (1999), 109–184.
M.-H. Giga and Y. Giga, Generalized motion by nonlocal curvature in the plane. Arch. Rational Mech. Anal.,159 (2001), 295–333.
P.M. Girão, Convergence of a crystalline algorithm for the motion of a simple closed convex curve by weighted curvature. SIAM J. Numer. Anal.,32 (1995), 886–899.
P.M. Girão and R.V. Kohn, Convergence of a crystalline algorithm for the heat equation in one dimension and for the motion of a graph by weighted curvature. Numer. Math.,67 (1994), 41–70.
H. Ishii, Gauss curvature flow and its approximation. Free Boundary Problems: Theory and Applications, II (Chiba, 1999), 198–206, GAKUTO Internat. Ser. Math. Sci. Appl.,14, Gakkotosho, Tokyo, 2000.
H. Ishii and T. Mikami, A two-dimensional random crystalline algorithm for Gauss curvature flow. Adv. Appl. Prob.,34 (2002), 491–504.
H. Ishii and T. Mikami, Convexified Gauss curvature flow of sets: a stochastic approximation. SIAM J. Math. Anal.,36 (2004), 552–579.
K. Ishii and H.M. Soner, Regularity and convergence of crystalline motion. SIAM J. Math. Anal.,30 (1998), 19–37.
R. Schneider, Convex Bodies: the Brunn-Minkowski Theory. Cambridge University Press, 1993.
H.M. Soner, Motion of a set by the curvature of its boundary. J. Differential Equations,101 (1993), 313–372.
J.E. Taylor, Constructions and conjectures in crystalline nondifferential geometry. Differential Geometry (eds. B. Lawson and K. Tanenblat), Pitman, 1991, 321–336.
J.E. Taylor, Motion of curves by crystalline curvature. including triple junctions and boundary points, Differential Geometry (eds. R. Greene and S. T. Yau), AMS, 1993, 417–438.
K. Tso, Deforming a hypersurface by its Gauss-Kronecker curvature. Comm. Pure Appl. Math.,38 (1985), 867–882.
T.K. Ushijima and S. Yazaki, Convergence of a crystalline algorithm for the motion of a closed convex curve by a power of curvatureV = Kα. SIAM J. Numer. Anal.,37 (2000), 500–522.