Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Sự hội tụ của phương pháp phần tử hữu hạn H 1-Galerkin cho các bài toán parabol với độ điều hòa ban đầu giảm
Tóm tắt
Chúng tôi nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp phần tử hữu hạn hỗn hợp H 1-Galerkin cho các bài toán parabol trong một chiều không gian. Cả hai sơ đồ bán rời rạc và hoàn toàn rời rạc đều được phân tích với giả định có độ điều hòa thấp hơn trên dữ liệu ban đầu. Cụ thể hơn, đối với sơ đồ rời rạc không gian, ước lượng sai số bậc $\mathcal{O}(h^2 t^{-1/2})$ cho thời gian dương được thiết lập với giả định rằng hàm khởi đầu p_0 ∈ H 2(Ω) ∩ H 0 1(Ω). Hơn nữa, chúng tôi sử dụng kỹ thuật năng lượng cùng với lập luận đối ngẫu parabol để đưa ra các ước lượng sai số bậc $\mathcal{O}(h^2 t^{-1})$ khi p_0 chỉ thuộc H 0 1(Ω). Một phương pháp Euler ngược rời rạc theo thời gian được phân tích và các giới hạn sai số gần như tốt nhất được thiết lập.
Từ khóa
#H 1-Galerkin #phương pháp phần tử hữu hạn #bài toán parabol #sai số #độ điều hòa dữ liệu ban đầuTài liệu tham khảo
Adams, R.A., Sobolev Spaces, New York: Academic Press, 1975.
Brezzi, F. and Fortin, M., Mixed and Hybrid Finite Element Methods, New York: Springer-Verlag, 1991.
Brezzi, F., Douglas, J., and Marini, J.L.D., Two Families of Mixed Finite Elements for Second Order Elliptic Problems, Num. Math., 1985, vol. 47, pp. 217–235.
Campbell, S.L., Brenan, K E., and Petzold, L.R., Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential-Algebraic Equations, New York: American Elsevier Science, 1989.
Chen, H., Ewing, R., and Lazarov, R.D., Superconvergence of Mixed Finite Element Methods for Parabolic Problems with Nonsmooth Initial Data, Num. Math., 1998, vol. 78, pp. 495–521.
Douglas, J., Dupont, T.F., and Wheeler, M.F., H 1-Galerkin Methods for the Laplace and Heat Equations, in Mathematical Aspects of Finite Elements in Partial Differential Equations, De Boor, C., Ed., New York: Academic Press, 1975, pp. 383–415.
Johnson, C. and Thomée, V., Error Estimates for Some Mixed Finite Element Methods for Parabolic Type Problems, RAIRO Analyse Numrérique, 1981, vol. 15, pp. 41–78.
Luskin, M. and Rannacher, R., On the Smoothing Property of the Galerkin Method for Parabolic Equations, SIAM J. Num. Anal., 1982, vol. 19, no. 1, pp. 93–113.
Neittaanmäki, P. and Saranen, J., A Mixed Finite Element Method for the Heat Flow Problem, BIT, 1981, vol. 21,iss. 3, pp. 342–346.
Pani, A.K., AnH 1-Galerkin Mixed Finite Element Method for Parabolic Partial Differential Equations, SIAM J. Num. Anal., 1998, vol. 35, no. 2, pp. 712–727.
Pani, A.K. and Das, P.C., AnH 1-Galerkin Method for Quasilinear Parabolic Partial Differential Equations, in Methods of Functional Analysis in Approximation Theory, Micchelli, C.A., Pai, D.V., and Limaye, B.V., Eds., ISNM 76, Basel: Birkhäuser-Verlag, 1986, pp. 357–370.
Pani, A.K. and Fairweather, G., H 1-Galerkin Mixed Finite Element Methods for Parabolic Partial Integro-Differential Equations, IMA J. Num. Anal., 2002, vol. 22, pp. 231–252.
Pehlivanov, A.I., Carey, G.F., and Lazarov, R.D., Least-Squares Mixed Finite Elements for Second Order Elliptic Problems, SIAM J. Num. Anal., 1994, vol. 31, no. 5, pp. 1368–1377.
Raviart, P.A. and Thomas, J.M., A Mixed Finite Element Method for Second Order Elliptic Problems, New York: Springer-Verlag, 1977, pp. 293–315.
Thomée, V., Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems, 2nd ed., Berlin: Springer-Verlag, 2006.