Khả năng điều khiển cho các hệ thống rời rạc với tập kiểm soát hữu hạn

Trong bài báo này, chúng tôi xem xét vấn đề khả năng điều khiển cho một hệ thống điều khiển tuyến tính rời rạc x_k+1=Ax_k+Bu_k, u_k∈U, trong đó (A,B) là điều khiển được và U là một tập hữu hạn. Chúng tôi chứng minh sự tồn tại của một tập hữu hạn U đảm bảo tính mật độ cho tập có thể đạt được từ gốc dưới những giả thuyết cần thiết rằng cặp (A,B) là điều khiển được và A có các giá trị riêng có mô-đun lớn hơn hoặc bằng 1. Trong trường hợp A chỉ khả nghịch, chúng tôi thu được tính mật độ trên các tập compact. Chúng tôi cũng cung cấp các kết quả đồng nhất liên quan đến ma trận A và điều kiện ban đầu. Trong trường hợp một chiều, ma trận A giảm thành một số vô hướng λ và đối với λ>1, tập có thể đạt được R(0,U) từ gốc là ¶Khi 0<λ<1 và U={0,1,3}, sự đóng của tập này là đối tượng nghiên cứu của vấn đề nổi tiếng {0,1,3}. Hóa ra rằng tính không mật độ của cho tập hữu hạn các số nguyên có liên quan đến các lớp số nguyên đại số đặc biệt. Cụ thể, nếu λ là một số Pisot, thì tập này là không bao phủ ở mọi nơi trong ℝ đối với bất kỳ tập điều khiển hữu hạn U nào của các số hữu tỷ.