Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Các Hủy Bỏ Của Các Hồi Tiếng Và Động Lực Học Thời Gian Dài Của Phương Trình Schrödinger Bậc Ba Trên $${\mathbb {T}}$$
Tóm tắt
Chúng tôi chứng minh tính chất biến mất của phép biến đổi dạng chuẩn của phương trình Schrödinger phi tuyến bậc ba 1 chiều (NLS) với điều kiện biên định kỳ trên [0, L]. Chúng tôi áp dụng tính chất này vào các tương tác cộng hưởng bậc năm và thu được mô tả về động lực học trong khoảng thời gian lên đến $$T=\frac{L^2}{\epsilon ^4}$$, nếu L đủ lớn và kích thước của dữ liệu ban đầu $$\epsilon $$ đủ nhỏ. Vì T là thời gian đặc trưng của sự hỗn loạn sóng, kết quả này ngụ ý sự vắng mặt của hành vi hỗn loạn sóng của phương trình NLS bậc ba 1 chiều. Phương pháp của chúng tôi có thể được áp dụng cho các hệ thống khả tích khác mà không gặp quá nhiều khó khăn. Trong bằng chứng, chúng tôi phát triển một sự tương ứng giữa các sơ đồ Feynman và các hạng mục trong các dạng chuẩn, cho phép chúng tôi tính toán các hệ số một cách quy nạp.
Từ khóa
#phương trình Schrödinger #NLS #động lực học #cộng hưởng #sơ đồ Feynman #hỗn loạn sóngTài liệu tham khảo
Babin, A., Ilyin, A.A., Titi, E.S.: On the regularization mechanism for the periodic Korteweg–de Vries equation. Commun. Pure Appl. Math. 64(5), 591648 (2011)
Bourgain, J.: Fourier transform restriction phenomena for certain lattice subsets and applications to nonlinear evolution equations. I. Schrödinger equations. Geometric Funct. Anal. 3(2), 107–156 (1993)
Bourgain, J.: Periodic nonlinear Schrödinger equation and invariant measures. Commun. Math. Phys. 166, 1–26 (1994)
Bourgain, J.: Approximation of solutions of the cubic nonlinear schrodinger equations by finite-dimensional equations and nonsqueezing properties. Int. Math. Res. Not. IMRN 2, 79–90 (1994)
Bourgain, J.: A remark on normal forms and the “I-method” for periodic NLS. J. Anal. Math. 94, 125 (2004)
Brüdern, J., Robert, O.: Rational points on linear slices of diagonal hypersurfaces. Nagoya Math. J. 218, 51–100 (2015)
Buckmaster, T., Germain, P., Hani, Z., Shatah, J.: Effective dynamics of the nonlinear Schrödinger equation on large domains. Commun. Pure Appl. Math. 71(7), 1407–1460 (2018)
Buckmaster, T., Germain, P., Hani, Z., Shatah, J.: Analysis of the (CR) equation in higher dimensions. International Mathematics Research Notices (2017)
Buckmaster, T., Germain, P., Hani, Z., Shatah, J.: Onset of the wave turbulence description of the longtime behavior of the nonlinear Schrödinger equation (2019). arXiv:1907.03667
Christ, M.: Power series solution of a nonlinear Schrödinger equation in Mathematical Aspects of Nonlinear Dispersive Equations. Annals of Mathematics Studies, vol. 163, pp. 131–155. Princeton University Press, Princeton (2007)
Colliander, J., Keel, M., Staffilani, G., Takaoka, H., Tao, T.: Global well-posedness and scattering for the energy-critical nonlinear Schrödinger equation in \(\mathbb{R}^3\). Ann. Math. 167(2), 767–865 (2008)
Deift, P., Zhou, X.: Long-time asymptotics for solutions of the NLS equation with initial data in a weighted Sobolev space. Commun. Pure Appl. Math. 56, 1029–1077 (2003). https://doi.org/10.1002/cpa.3034
Erdoǧan, M.B., Tzirakis, N.: Talbot effect for the cubic nonlinear Schrödinger equation on the torus. Math. Res. Lett. 20, 1081–1090 (2013)
Faou, E., Germain, P., Hani, H.: The weakly nonlinear large-box limit of the 2D cubic nonlinear Schrödinger equation. J. Am. Math. Soc. 29, 915–982 (2016)
Guo, Z., Kwon, S., Oh, T.: Poincaré–Dulac normal form reduction for unconditional well-posedness of the periodic cubic NLS. Commun. Math. Phys. 322(1), 19–48 (2013)
Germain, P., Masmoudi, N., Shatah, J.: Global solutions for 3D quadratic Schrödinger equations. Int. Math. Res. Not. IMRN 3, 414–432 (2009)
Grébert, B., Kappeler, T.: The Defocusing NLS Equation and Its Normal Form. EMS Series of Lectures in Mathematics. European Mathematical Society Publishing House, Zurich (2014)
Hani, Z.: Long-time instability and unbounded Sobolev orbits for some periodic nonlinear Schrödinger equations. Arch. Ration. Mech. Anal. 211(3), 929–964 (2014)
Heath-Brown, D.R.: A new form of the circle method, and its application to quadratic forms. J. Reine Angew. Math. 481, 149–206 (1996)
Ionescu, A.D., Pausader, B.: Nonlinear fractional Schrödinger equations in one dimension. J. Funct. Anal. 266, 139–176 (2014)
Ionescu, A.D., Pusateri, F.: Global Regularity for 2D Water Waves with Surface Tension, vol. 256, p. 1227. Memoirs of the American Mathematical Society, Providence (2018)
Kappeler, T., Lohrmann, P., Topalov, P., Zung, N.T.: Birkhoff coordinates for the focusing NLS equation. Commun. Math. Phys. 285, 1087–1107 (2009)
Kappeler, T., Makarov, M.: On Birkhoff coordinates for KdV. Ann. H. Poincaré 2, 807–856 (2001)
Kappeler, T., Schaad, B., Topalov, P.: Scattering-like phenomena of the periodic defocusing NLS equation. Math. Res. Lett. 24(3), 1081–1090 (2015)
Kato, J., Pusateri, F.: A new proof of long-range scattering for critical nonlinear Schrödinger equations. Differ. Int. Equ. 24(9–10), 923–940 (2011)
Lukkarinen, J., Spohn, H.: Weakly nonlinear Schrödinger equation with random initial data. Invent. Math. 183(1), 79–188 (2011)
Nazarenko, S.: Wave Turbulence. Lecture Notes in Physics, vol. 825. Springer, Heidelberg (2011)
Novikov, S., Manakov, S.V., Pitaevskii, L.P., Zakharov, V.E.: Theory of Solitons: The Inverse Scattering Method, Monographs in Contemporary Mathematics. Springer, Berlin (1984)
Oh, T., Wang, Y.: Normal form approach to the one-dimensional periodic cubic nonlinear Schrödinger equation in almost critical Fourier-Lebesgue spaces. To appear in J. Anal. Math
Overholt, M.: A Course in Analytic Number Theory Graduate Studies in Mathematics, vol. 160. American Mathematical Society, Providence (2014)
Procesi, C., Procesi, M.: A kam algorithm for the nonlinear Schrödinger equation. Adv. Math. 272, 399–470 (2015)
Shatah, J.: Normal forms and quadratic nonlinear Klein–Gordon equations. Commun. Pure Appl. Math. 38, 685–696 (1985)
Tao, T.: Nonlinear dispersive equations, volume 106 of CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; by the American Mathematical Society, Providence, RI. Local and global analysis (2006)
Zakharov, V .E., L’vov, V .S., Falkovich, G.: Kolmogorov Spectra of Turbulence I: Wave Turbulence. Springer, Berlin (2012)
Zakharov, V.E., Odesskii, A.V., Cisternino, M., Onorato, M.: Five-wave classical scattering matrix and integrable equations. Theor. Math. Phys. 180(1), 759–764 (2014)
Zakharov, V.E., Shabat, A.B.: Exact theory of two-dimensional self-focusing and one-dimensional self-modulation of waves in nonlinear media. Sov. Phys. J. Exp. Theor. Phys. 34, 62–69 (1972)
Zakharov, V.E., Schulman, E.I.: On additional motion invariants of classical hamiltonian wave systems. Phys. D 29, 283–320 (1988)
Zakharov, V.E., Schulman, E.I.: Integrability of Nonlinear Systems and Perturbation Theory. What Is Integrability?. Springer Series in Nonlinear Dynamics, pp. 185–250. Springer, Berlin (1990)
Zheng, F.: Long-term regularity of the periodic Euler–Poisson system for electrons in 2D. Commun. Math. Phys. 366(3), 1135–1172 (2019)
Zheng, F.: Long-term regularity of 3D gravity water waves (2019). arXiv:1910.01912