Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Đại số tự động của các quasi-groups hữu hạn không có các sub-quasi-groups
Tóm tắt
Bài viết xem xét các quasi-groups hữu hạn không chứa sub-quasi-groups. Kết quả cho thấy rằng các quasi-groups hoàn toàn đa thức có thuộc tính này là quasi-primal. Trường hợp các nhóm tự động tác động một cách đồng nhất lên các quasi-groups này cũng được xem xét. Các quasi-groups có bậc nguyên tố được định nghĩa trên một không gian vector số học với trường hữu hạn cũng được nghiên cứu. Tác giả tìm ra các điều kiện cần thiết cho một phép nhân trong không gian này dưới dạng tọa độ để xác định một quasi-group. Bài viết đi sâu hơn vào trường hợp không gian vector trên trường hai phần tử. Một tiêu chí cho phép nhân được đưa ra dưới dạng tọa độ bằng các hàm Boolean để xác định một quasi-group được thiết lập. Dưới một số giả định nhất định, các quasi-groups có bậc 4 được xác định bởi các hàm Boolean được mô tả cho đến isotopy. Các quasi-groups hoàn toàn đa thức đều quan trọng vì bài toán giải các phương trình đa thức là NP-complete trong các quasi-groups này. Tính chất này gợi ý việc sử dụng chúng để bảo vệ thông tin, vì các chuyển đổi mật mã dựa trên các phép toán quasi-group. Trong bối cảnh này, các quasi-groups không chứa sub-quasi-groups đóng một vai trò quan trọng.
Từ khóa
#quasi-groups #nhóm tự động #hàm Boolean #phương trình đa thức #bảo mật thông tinTài liệu tham khảo
V. A. Artamonov, S. Chakrabarti, S. Gangopadhyay, and S. K. Pal, “On Latin squares of polynomially complete quasigroups and quasigroups generated by shifts,” Quasigroups Relat. Syst. 21, 201–214 (2013).
V. A. Artamonov, S. Chakrabarti, and S. K. Pal, “Characterization of polynomially complete quasigroups based on latin squares for cryptographic transformations,” J. Discrete Appl. Math. 200, 5–17 (2016). https://doi.org/10.1016/j.dam.2015.06.033
V. A. Artamonov, S. Chakrabarti, and S. K. Pal, “Characterizations of highly non-associative quasigroups and associative triples,” Quasigroups Relat. Syst. 25, 1–19 (2017).
J. Dénes and A. D. Keedwell, Latin Squares and Their Applications (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1974).
J. Dénes and A. D. Keedwell, Latin Squares. New Developments in the Theory and Applications (North-Holland, Amsterdam, 1991), in Ser.: Annals of Discrete Mathematics, Vol. 46.
D. Gligoroski, V. Dimitrova, and S. Markovski, “Quasigroups as boolean functions, their equation systems and Gröbner bases,” in Gröbner Bases, Coding and Cryptography, Ed. by M. Sala, L. Peret, S. Sakata, and C. Traverso (Springer-Verlag, Berlin, 2009), pp. 415–420.
G. Horvath, C. L. Nehaniv, and Cs. Szabo, “An assertion concerning functionally complete algebras and NP-completeness,” Theor. Comput. Sci. 407, 591–595 (2008).
G. Liu and Yu. Xu, “Cryptographic classification of quasigroups of order 4,” in Proc. Int. Workshop on Cloud Computing and Information Security (CCIS 2013), Shanghai, China, Nov. 9–11,2013 (Curran, Red Hook, NY, 2013), pp. 278–281.
D. Gligoroski, S. Markovski, and S. J. Knapskog, “Multivariate quadratic trapdoor functions based on multivariate quadratic quasigroups,” in Proc. Am. Conf. on Applied Mathematics (MATH’08), Cambridge, MA, Mar. 24–26,2008 (World Sci. Eng. Acad. Soc. (WSEAS), Steven Point, WI, 2008), pp. 44–49.
S. Samardjiska, Ya. Chen, and D. Gligoroski, “Construction of multivariate quadratic quasigoups (MQQs) in arbitrary Galois fields,” in Proc. 7th Int. Conf. on Information Assurance and Security (IAS), Malacca, Malaysia, Dec. 5–8,2011 (IEEE, Piscataway, NJ, 2012), pp. 314–319.
V. A. Artamonov, “Applications of quasigroups to cryprography,” Sarajevo J. Math. 14(27), 191–205.
A. Szendrei, “Simple surjective algebras having no proper subalgebras,” J. Aust. Math. Soc., Ser. A 48, 434–454 (1990).
J. Hagemann and C. Herrmann, “Arithmetically locally equational classes and representation of partial functions,” Univers. Algebra (Esztergom, Hungary) 29, 345–360 (1982).