Bất đẳng thức của các phần tử riêng của toán tử Laplace khi loại điều kiện biên thay đổi trên một dải phẳng hẹp

Pleiades Publishing Ltd - Tập 75 - Trang 213-228 - 2004
M. Yu. Planida1
1Bashkir State Pedagogical University, Russia

Tóm tắt

Trong bài báo này, phương pháp khớp các khai triển tiệm cận được sử dụng để xây dựng một khai triển tiệm cận (trong một tham số nhỏ) của các giá trị riêng và các hàm riêng của toán tử Laplace trong một miền khi loại điều kiện biên thay đổi trên một dải phẳng hẹp, với điều kiện trên dải hẹp của biên là điều kiện Neumann và trên phần còn lại của biên là điều kiện Dirichlet. Bề rộng của dải được xem như là tham số nhỏ.

Từ khóa

#toán tử Laplace #điều kiện biên #giá trị riêng #hàm riêng #phương pháp khớp khai triển tiệm cận

Tài liệu tham khảo

A. M. Ilľin, Matching Asymptotic Expansions of the Solutions of Boundary-Value Problems [in Russian], Nauka, Moscow, 1989. A. A. Samarskii, “On the effect of fastening on the eigenfrequency of closed volumes,” Dokl. Akad. Nauk SSSR [Soviet Math. Dokl.], 63 (1948), 631–634. Yu. N. Dnestrovskii, “On the change of eigenvalues under the change of the domain boundary,” Vestnik Moskov. Univ. (1964), no. 9, 61–74. S. Ozawa, “Singular variation of domains and eigenvalues of the Laplacian,” Duke Math. J., 48 (1981), 767–778. V. G. Mazľya, S. P. Nazarov, and B. A. Plamenevskii, “Asymptotic expansions of the eigenvalues of boundary-value problems for the Laplace operator in domains with small holes,” Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. [Math. USSR-Izv.], 48 (1984), no. 2, 347–371. R. R. Gadylľshin and A. M. Ilľin, “Asymptotics of the eigenvalues of the Dirichlet problem in a domain with a narrow slit,” Mat. Sb. [Russian Acad. Sci. Sb. Math.], 189 (1998), no. 4, 25–48. A. M. Ilľin and R. R. Gadylľshin, “On the applicability of the regular perturbation theory for a membrane with a narrow slit,” Dokl. Ross. Akad. Nauk [Russian Acad. Sci. Dokl. Math.], 380 (2001), no. 2, 172–175. R. R. Gadylľshin, “Asymptotics of the eigenvalue of a singularly perturbed elliptic problem with a small parameter in the boundary conditions,” Differentsialľnye Uravneniya [Differential Equations], 22 (1986), no. 4, 640–652. R. R. Gadylľshin, “Splitting of multiple eigenvalues of the Dirichlet problem for the Laplace operator under singular perturbations of the boundary condition,” Mat. Zametki [Math. Notes], 52 (1992), no. 4, 42–55. R. R. Gadylľshin, “On the perturbation of the Laplacian spectrum when the boundary-condition type changes on a small part of the boundary,” Zh. Vychisl. Mat. i Mat. Fiz. [Comput. Math. and Math. Phys.], 36 (1996), no. 7, 77–88. I. I. Argatov and S. A. Nazarov, “Asymptotic solution of the Signorini problem with an obstacle on a thin elongated set,” Mat. Sb. [Russian Acad. Sci. Sb. Math.], 187 (1996), no. 10, 3–32. M. Yu. Planida, “On the convergence of solutions of singularly perturbed boundary-value problems for the Laplacian,” Mat. Zametki [Math. Notes], 71 (2002), no. 6, 867–877. O. A. Ladyzhenskaya and N. N. Uralľtseva, Linear and Quasilinear Equations of Elliptic Type [in Russian], Nauka, Moscow, 1977. D. I. Borisov, “On a singularly perturbed boundary-value problem for the Laplacian in the cylinder,” Differentsialľnye Uravneniya [Differential Equations], 38 (2002), no. 8, 1071–1078. M. I. Vishik and L. A. Lyusternik, “Regular degeneracy and the boundary layer for linear differential equations with a small parameter,” Uspekhi Mat. Nauk [Russian Math. Surveys], 12 (1957), no. 5, 3–122.