Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Vấn đề quang phổ nghịch đảo bất đối xứng tiệm cận cho bộ dao động không điều hòa
Tóm tắt
Chúng tôi nghiên cứu sự nhiễu loạn L=A+B của bộ dao động điều hòa A=1/2(−∂2+x
2−1) trên ℝ, khi khả năng B(x) có một tiệm cận quy định ở ∞, B(x)∼|x|−α
V(x) với một hàm trigonometric chẵn V(x)=Σa
mcosω
m
x. Các trị riêng của L được chỉ ra là λ
k
=k+μ
k
với μ
k
nhỏ, μ
k
=O(k
−γ), γ=1/2+1/4. Kết quả chính của bài báo là một công thức tiệm cận cho những dao động quang phổ {μ
k
},
$$\mu _k \sim k^{ - \gamma } \tilde V(\sqrt {2k} ) + c/\sqrt {2k} khi k \to \infty ,$$
với hạng tử chính
$$\tilde V$$
đại diện cho cái gọi là “biến đổi Radon” của V,
$$\tilde V(x) = const\sum {\frac{{a_m }}{{\sqrt {\omega _m } }}\cos (\omega _m x - \pi /4)} .$$
Kết quả là chúng tôi có khả năng giải quyết rõ ràng vấn đề quang phổ nghịch đảo, tức là phục hồi phần tiệm cận |x
−α|V(x) của B từ tiệm cận của {µ
k
}. 1
∞
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Borg, G.: Acta Math.78, 1–96 (1946)
Guillemin, V.: Adv. Math.42, 283–290, (1981);27, 273–286 (1978)
Gurarie, D.: Band invariants and inverse spectral problems for anharmonic oscillators. Preprint 1986
Eskin, G., Ralston, A., Trubowitz, E.: Contemp. Math.27, 45–56 (1984)
Isaacson, E., McKean, H., Trubowitz, E.: Commun. Pure Appl. Math.36, 767–783 (1983);37, 1–11 (1984)
Kuipers, L., Niederreiter, H.: Uniform distribution of sequences. New York: Wiley 1974
Lax, P.: Commun. Pure Appl. Math.28, 147–199 (1975)
McKean, H.P., van Moerbecke, P.: Invent. Math.30, 217–274 (1975)
Reed, M., Simon, B.: Methods of modern mathematical physics, Vol. II. New York: Academic Press 1975
Taylor, M.E.: Pseudodifferential operators. Princeton, NJ: Princeton University Press 1981
Uribe, A.: J. Funct. Anal.59, 3 535–556 (1984)
Weinstein, A.: Duke Math. J.44, 83–92 (1977)
Widom, H.: J. Funct. Anal.32, 139–147 (1979)