Các phương trình xấp xỉ của dòng khí mặt phẳng và việc tích phân của chúng

Đã biết rằng hệ phương trình phi tuyến của dòng khí lý tưởng ổn định trong mặt phẳng có thể được tuyến tính hóa và chuyển đổi thành một phương trình vi phân tuyến tính tương đương bậc hai. Đối với trường hợp khí tuyệt đối, phương trình này có dạng [1] $$\begin{gathered} \frac{{1 - \tau ^2 }}{{\tau ^2 (1 - \alpha \tau ^2 )}} \frac{{\partial ^2 \Phi }}{{\partial \theta ^2 }} + \frac{{\partial ^2 \Phi }}{{\partial \tau ^2 }} + \frac{{\tau (1 - \tau ^2 )}}{{\tau ^2 (1 - \alpha \tau ^2 )}} \frac{{\partial \Phi }}{{\partial \tau }} = 0, \hfill \\ (\tau = w/c_k , w = \sqrt {u^2 + \upsilon ^2 } , \alpha = (\gamma - 1)/(\gamma + 1); \gamma = c_p /c_\upsilon ). (0.1) \hfill \\ \end{gathered} $$ Ở đây θ là góc tạo thành giữa véc tơ vận tốc với trục x, u, v là các chiếu của vận tốc trên trục x, y; ck là vận tốc tới hạn, không đổi trong toàn bộ vùng chảy.