Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Một đại diện lỗi cục bộ chính xác của phương pháp tách toán tử mũ cho các bài toán tiến hóa và ứng dụng cho các phương trình Schrödinger tuyến tính trong chế độ nửa cổ điển
Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu việc suy diễn một đại diện lỗi cục bộ cho các phương pháp tách toán tử mũ khi áp dụng cho các bài toán tiến hóa liên quan đến các tham số quan trọng. Bằng cách sử dụng một công thức trừu tượng cho các phương trình vi phân trên không gian hàm, khuôn khổ của chúng tôi bao gồm các phương trình Schrödinger trong chế độ nửa cổ điển cũng như các bài toán giá trị biên khởi đầu parabol với các độ dốc không gian cao. Chúng tôi minh họa cơ chế tổng quát trên cơ sở phương pháp tách Lie bậc nhất và phương pháp tách Strang bậc hai. Hơn nữa, chúng tôi xác định đại diện lỗi cục bộ cho một sơ đồ tách bậc bốn của Yoshida. Từ ước lượng lỗi được đưa ra, có thể kết luận rằng các phương pháp tách toán tử mũ bậc cao hơn là có lợi cho việc tích phân theo thời gian của các phương trình Schrödinger tuyến tính trong chế độ nửa cổ điển với tham số quan trọng 0<ε≪1, với điều kiện rằng kích thước bước thời gian h nhỏ hơn đáng kể so với $\sqrt[p]{\varepsilon}$, trong đó p biểu thị bậc của phương pháp tách.
Từ khóa
#tách toán tử mũ #phương trình Schrödinger #chế độ nửa cổ điển #lỗi cục bộ #độ dốc không gian #phương pháp tách Lie #phương pháp tách Strang #phương pháp tách YoshidaTài liệu tham khảo
Adams, R.A.: Sobolev Spaces. Academic Press, San Diego (1978)
Bao, W., Shen, J.: A fourth-order time-splitting Laguerre–Hermite pseudospectral method for Bose–Einstein condensates. SIAM J. Sci. Comput. 26(6), 2010–2028 (2005)
Bao, W., Jin, S., Markowich, P.: On time-splitting spectral approximations for the Schrödinger equation in the semiclassical regime. J. Comput. Phys. 175, 487–524 (2002)
Bao, W., Jaksch, D., Markowich, P.: Numerical solution of the Gross–Pitaevskii equation for Bose–Einstein condensation. J. Comput. Phys. 187, 318–342 (2003)
Bao, W., Jin, S., Markowich, P.: Numerical study of time-splitting spectral discretisations of nonlinear Schrödinger equations in the semiclassical regimes. SIAM J. Sci. Comput. 25(1), 27–64 (2003)
Blanes, S., Moan, P.C.: Practical symplectic partitioned Runge–Kutta and Runge–Kutta–Nyström methods. J. Comput. Appl. Math. 142, 313–330 (2002)
Caliari, M., Neuhauser, Ch., Thalhammer, M.: High-order time-splitting Hermite and Fourier spectral methods for the Gross–Pitaevskii equation. J. Comput. Phys. 228, 822–832 (2009)
Castella, F., Chartier, Ph., Descombes, S., Vilmart, G.: Splitting methods with complex times for parabolic equations. BIT Numer. Math. 49(3), 487–508 (2009)
Descombes, S., Schatzman, M.: Strang’s formula for holomorphic semi-groups. J. Math. Pures Appl. 81, 93–114 (2002)
Descombes, S., Dumont, T., Louvet, V., Massot, M.: On the local and global errors of splitting approximations of reaction-diffusion equations with high spatial gradients. Int. J. Comput. Math. 84(6), 749–765 (2007)
Engel, K.J., Nagel, R.: One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Springer, New York (2000)
Faou, E., Gradinaru, V., Lubich, Ch.: Computing semi-classical quantum dynamics with Hagedorn wavepackets. SIAM J. Sci. Comput. 31(4), 3027–3041 (2009)
Gauckler, L.: Convergence of a split-step Hermite method for the Gross–Pitaevskii equation. IMA J. Numer. Anal. (2010). doi:10.1093/imanum/drp041
Hairer, E., Lubich, Ch., Wanner, G.: Geometric Numerical Integration. Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. Springer, Berlin (2002)
Hansen, E., Ostermann, A.: High order splitting methods for analytic semigroups exist. BIT Numer. Math. 49(3), 527–542 (2009)
Henry, D.: Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations. Lecture Notes in Mathematics, vol. 840. Springer, Berlin (1981)
Hille, E., Phillips, R.S.: Functional Analysis and Semi-Groups. American Mathematical Society, Providence (1957)
Jahnke, T., Lubich, Ch.: Error bounds for exponential operator splittings. BIT Numer. Math. 40(4), 735–744 (2000)
Lubich, Ch.: On splitting methods for Schrödinger–Poisson and cubic nonlinear Schrödinger equations. Math. Comput. 77, 2141–2153 (2008)
Lunardi, A.: Analytic Semigroups and Optimal Regularity in Parabolic Problems. Birkhäuser, Basel (1995)
McLachlan, R.I., Quispel, R.: Splitting methods. Acta Numer. 11, 341–434 (2002)
Neuhauser, Ch., Thalhammer, M.: On the convergence of splitting methods for linear evolutionary Schrödinger equations involving an unbounded potential. BIT Numer. Math. 49(1), 199–215 (2009)
Pazy, A.: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer, New York (1983)
Pérez–García, V.M., Liu, X.: Numerical methods for the simulation of trapped nonlinear Schrödinger systems. Appl. Math. Comput. 144, 215–235 (2003)
Strang, G.: On the construction and comparison of difference schemes. SIAM J. Numer. Anal. 5, 506–517 (1968)
Thalhammer, M.: High-order exponential operator splitting methods for time-dependent Schrödinger equations. SIAM J. Numer. Anal. 46(4), 2022–2038 (2008)
Trotter, H.F.: On the product of semi-groups of operators. Proc. Am. Math. Soc. 10, 545–551 (1959)