Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Phương pháp nhiều thang đo được mở rộng cho các hệ phi tuyến bị kích thích hài hòa
Tóm tắt
Bài báo này khám phá sự làm phong phú cho phương pháp Nhiều Thang Đo, trong một số trường hợp mở rộng tính khả thi của nó cho các nghiệm tuần hoàn của các hệ thống phi tuyến mạnh bị kích thích hài hòa. Sự làm phong phú này xuất phát từ một tham số đồng hợp được giới thiệu trong phương trình điều khiển hệ thống, điều này chuyển đổi hành vi của nó từ tuyến tính sang phi tuyến khi giá trị biến đổi từ không đến một. Chính tham số này cũng đóng vai trò như một đại lượng nhiễu loạn trong cả khai triển tiệm cận và dạng nghiệm được giả định của nhiều thang đo. Hai hệ thống phi tuyến điển hình được khám phá. Thứ nhất là một bộ dao động Duffing bị kích thích cổ điển, trong đó các nghiệm tuần hoàn gần tần số cộng hưởng sơ cấp được phân tích và độ ổn định của chúng được đánh giá khi cường độ của thành phần bậc ba, lực kích thích và một yếu tố tỉ lệ của hệ thống được tăng cường. Thứ hai là một bộ dao động van der Pol bị kích thích cổ điển, trong đó các nghiệm quasi tuần hoàn và phụ hài được phân tích. Đối với cả hai hệ thống, các so sánh được thực hiện giữa các nghiệm được tạo ra sử dụng (a) phương pháp Nhiều Thang Đo mở rộng, (b) phương pháp Nhiều Thang Đo truyền thống, và (c) các mô phỏng số. Đối với hệ thống Duffing, những khác biệt quan trọng về chất lượng và định lượng được ghi nhận giữa các nghiệm được dự đoán bởi Nhiều Thang Đo mở rộng và Nhiều Thang Đo truyền thống. Đối với hệ thống van der Pol, khả năng linh hoạt của nghiệm tăng lên với phương pháp Nhiều Thang Đo mở rộng, bao gồm khả năng tìm kiếm các nghiệm phụ hài (và siêu hài) không nhất thiết gần với tần số tự nhiên tuyến tính. Trong cả hai hệ phi tuyến, các so sánh với các mô phỏng số cho thấy sự đồng nhất mạnh với các kết quả từ kỹ thuật mở rộng, và đặc biệt đối với trường hợp Duffing, ngay cả khi hệ thống là phi tuyến mạnh.
Từ khóa
#phương pháp nhiều thang đo #hệ thống phi tuyến #nghiệm tuần hoàn #dao động Duffing #dao động van der Pol #các mô phỏng sốTài liệu tham khảo
Elmas, N., Boyaci, H.: A new perturbation technique in solution of nonlinear differential equations by using variable transformation. Appl. Math. Comput. 227, 422–427 (2014)
Chun, C., Lee, M.Y.: A new optimal eighth-order family of iterative methods for the solution of nonlinear equations. Appl. Math. Comput. 223, 506–519 (2013)
Khan, Y., Al-Hayani, W.: A nonlinear model arising in the Buckling analysis and its new analytic approximate solution. Z. Naturforsch. Sect. A 68(5), 355–361 (2013)
Mohanty, R.K., Gopal, V.: A new off-step high order approximation for the solution. Of three-space dimensional nonlinear wave equations. Appl. Math. Model. 37(5), 2802–2815 (2013)
Li, B.Q., Li, S., Ma, Y.L.: New exact solution and novel time solutions for the dissipative Zabolotskaya–Khokhlov equation from nonlinear acoustics. Z. Naturforsch. Sect. A 67(10–11), 601–607 (2012)
Sedighi, H.M., Shirazi, K.H.: A new approach to analytical solution of Cantilever beam vibration with nonlinear boundary condition. J. Comput. Nonlinear Dyn. 7(3), 034502 (2012)
Khan, M., Gondal, M.A., Kumar, S.: A new analytical solution procedure for nonlinear integral equations. Math. Comput. Model. 55(7–8), 1892–1897 (2012)
He, J.H., Lee, E.W.M.: New analytical methods for cleaning up the solution of nonlinear equations. Comput. Math. Appl. 58(11–12), 2081–2083 (2009)
Cho, H., Yu, A.: New approach to satellite formation-keeping: exact solution to the full nonlinear problem. J. Aerosp. Eng. 22(4), 445–455 (2009)
Behiry, S.H., Hashish, H., El-Kalla, I.L., Elsaid, A.: New algorithm for the decomposition solution of nonlinear differential equations. Comput. Math. Appl. 54(4), 459–466 (2007)
Zhao, X.Q., Zhi, H.Y., Yu, Y.X., Zhang, H.Q.: A new Riccati equation expansion method with symbolic computation to construct new travelling wave solution of nonlinear differential equations. Appl. Math. Comput. 172(1), 24–39 (2006)
Nayfeh, A.H., Mook, D.T.: Nonlinear Oscillations. Pure and Applied Mathematics. Wiley, New York (1979)
Janowicz, M.: Method of multiple scales in quantum optics. Phys. Rep. 375(5), 327–410 (2003)
Manktelow, K., Leamy, M.J., Ruzzene, M.: Multiple scales analysis of wave–wave interactions in a cubically nonlinear monoatomic chain. Nonlinear Dyn. 63(1–2), 193–203 (2011)
Nayfeh, A.H.: Introduction to Perturbation Techniques. Wiley, New York (1981)
Nayfeh, A.H., Balachandran, B.: Applied Nonlinear Dynamics: Analytical, Computational, and Experimental Methods. Wiley Series in Nonlinear Science. Wiley, New York (1995)
Jordan, D.W., Smith, P.: Nonlinear Ordinary Differential Equations: Problems and Solutions. A Sourcebook for Scientists and Engineers. Oxford University Press, Oxford (2007)
Jordan, D.W., Smith, P.: Nonlinear Ordinary Differential Equations. An Introduction for Scientists and Engineers. Oxford University Press, New York (2007)
Switzer, R.M.: Algebraic Topology-Homotopy and Homology, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Springer-Verlag, Berlin, New York (1975)
Liao, S.J.: A 2nd-order approximate analytical solution of a simple pendulum by the process analysis method. J. Appl. Mech. Trans. ASME 59(4), 970–975 (1992)
Liao, S.J.: Numerically solving non-linear problems by the homotopy analysis method. Comput. Mech. 20(6), 530–540 (1997)
Liao, S.J.: Homotopy analysis method: a new analytic method for nonlinear problems. Appl. Math. Mech. Engl. Ed. 19(10), 957–962 (1998)
Liao, S.J., Chwang, A.T.: Application of homotopy analysis method in nonlinear oscillations. J. Appl. Mech. Trans. ASME 65(4), 914–922 (1998)
Chen, C., Wang, C., Liao, S.J.: Explicit analytic solutions of Kdv equation given by the homotopy analysis method. In: Chen, C., Wang, C., Liao, S.J. (eds.) Advances in Engineering Mechanics—Reflections and Outlooks, pp. 70–83. World Scientific, Singapore (2005)
Wu, W., Liao, S.J.: Solving solitary waves with discontinuity by means of the homotopy analysis method. Chaos Solit. Fractals 26(1), 177–185 (2005)
Cheng, J., Liao, S.J., Mohapatra, R.N., Vajraveju, K.: Series solutions of nano boundary layer flows by means of the homotopy analysis method. J. Math. Anal. Appl. 343(1), 233–245 (2008)
Li, Y.J., Nohara, B.T., Liao, S.J.: Series solutions of coupled Van Der Pol equation by means of homotopy analysis method. J. Math. Phys. 51(6), 063517 (2010)
Zhao, Y.L., Lin, Z.L., Liu, Z., Liao, S.J.: The improved homotopy analysis method for the Thomas–Fermi equation. Appl. Math. Comput. 218(17), 8363–8369 (2012)
Liao, S.J.: Notes on the homotopy analysis method: some definitions and theorems. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 14(4), 983–997 (2009)
Wang, C., Wu, Y.Y., Wu, W.: Solving the nonlinear periodic wave problems with the homotopy analysis method. Wave Motion 41(4), 329–337 (2005)
Gao, L.M., Wang, J., Zhong, Z., Du, J.K.: An analysis of surface acoustic wave propagation in functionally graded plates with homotopy analysis method. Acta Mech. 208(3–4), 249–258 (2009)
Abbasbandy, S., Parkes, E.J.: Solitary-wave solutions of the Degasperis–Procesi equation by means of the homotopy analysis method. Int. J. Comput. Math. 87(10), 2303–2313 (2010)
Jafari, H., Golbabai, A., Seifi, S., Sayevand, K.: Homotopy analysis method for solving multi-term linear and nonlinear diffusion-wave equations of fractional order. Comput. Math. Appl. 59(3), 1337–1344 (2010)
Abbasbandy, S., Zakaria, F.S.: Soliton solutions for the fifth-order Kdv equation with the homotopy analysis method. Nonlinear Dyn. 51(1–2), 83–87 (2008)
Inc, M.: On exact solution of laplace equation with Dirichlet and Neumann boundary conditions by the homotopy analysis method. Phys. Lett. A 365(5–6), 412–415 (2007)
Xu, H.: An effective treatment of nonlinear differential equations with linear boundary conditions using the homotopy analysis method. Math. Comput. Model. 49(3–4), 770–779 (2009)
Hajji, M.A., Allan, F.M.: Solving nonlinear boundary value problems using the homotopy analysis method. Numer. Anal. Appl. Math. A B 1479, 1829–1832 (2012)
Wong, H.Y., Chiu, M.C.: Homotopy analysis method for boundary-value problem of turbo warrant pricing under stochastic volatility. Abstr. Appl. Anal. 682524, 1–5 (2013)
Awawdeh, F., Jaradat, H.M., Alsayyed, O.: Solving system of Daes by homotopy analysis method. Chaos Solit. Fractals 42(3), 1422–1427 (2009)
Yuan, P.X., Li, Y.Q.: Approximate solutions of primary resonance for forced duffing equation by means of the homotopy analysis method. Chin. J. Mech. Eng. 24(3), 501–506 (2011)
He, J.-H.: Homotopy perturbation technique. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 178(3), 257–262 (1999)
He, J.-H.: Homotopy perturbation method: a new nonlinear analytical technique. Appl. Math. Comput. 135(1), 73–79 (2003)
He, J.-H.: Comparison of homotopy perturbation method and homotopy analysis method. Appl. Math. Comput. 156(2), 527–539 (2004)
He, J.-H.: The homotopy perturbation method for nonlinear oscillators with discontinuities. Appl. Math. Comput. 151(1), 287–292 (2004)
He, J.-H.: Application of homotopy perturbation method to nonlinear wave equations. Chaos Solit. Fractals 26(3), 695–700 (2005)
Ganji, D., Sadighi, A.: Application of He’s homotopy-perturbation method to nonlinear coupled systems of reaction-diffusion equations. Int. J. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 7(4), 411 (2006)
Beléndez, A., Hernandez, A., Beléndez, T., Fernández, E., Alvarez, M., Neipp, C.: Application of He’s homotopy perturbation method to the duffing-harmonic oscillator. Int. J. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 8(1), 79–88 (2007)
El-Shahed, M.: Application of He’s homotopy perturbation method to Volterra’s integro-differential equation. Int. J. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 6(2), 163–168 (2005)
Xu, L.: He’s homotopy perturbation method for a boundary layer equation in unbounded domain. Comput. Math. Appl. 54(7), 1067–1070 (2007)
Zhang, X.M., Wang, B.L., Kong, X.R., Xiao, A.Y.: Application of homotopy perturbation method for harmonically forced duffing systems. Appl. Mech. Mater. 110, 2277–2283 (2012)
Panayotounakos, D.E., Panayotounakou, N.D., Vakakis, A.F.: On the lack of analytic solutions of the Van Der Pol oscillator. Z. Angew. Math. Mech. 83(9), 611–615 (2003)
Nayfeh, A.H.: Perturbation Methods, Pure and Applied Mathematics. Wiley, New York (1973)
Nayfeh, A.H.: Problems in Perturbation. Wiley, New York (1985)
Nayfeh, A.H.: Perturbation Methods, Wiley Classics Library. John Wiley & Sons, New York (2000)