Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin ẩn phương hướng đối với phương trình Schrödinger tuyến tính
Numerical Algorithms - 2024
Tóm tắt
Chúng tôi xây dựng và phân tích một phương pháp xấp xỉ rời rạc hoàn toàn cho phương trình Schrödinger tuyến tính trên hình vuông đơn vị được viết dưới dạng một hệ thống kiểu Schrödinger. Phương pháp Galerkin phần tử hữu hạn được sử dụng cho việc phân discret không gian, và bước thời gian được thực hiện với một phương pháp Crank-Nicolson ngoại suy ẩn đối hướng. Chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất của phương pháp xấp xỉ, và chứng minh rằng sơ đồ đạt độ chính xác tối ưu trong chuẩn
$$L^2, H^1$$
và
$$L^{\infty }$$
trong không gian và đạt độ chính xác bậc hai theo thời gian. Các kết quả số được trình bày để ủng hộ lý thuyết.
Từ khóa
#phương trình Schrödinger tuyến tính #phương pháp Galerkin #phương pháp phần tử hữu hạn #xấp xỉ rời rạc #độ chính xác tối ưuTài liệu tham khảo
Akrivis, G.D., Dougalis, V.A.: On a class of conservative highly accurate Galerkin methods for the Schrödinger equation. RAIRO Modél. Math. Anal. Numér. 25, 643–670 (1991)
Besse, C., Xing, F.: Domain decomposition algorithms for two dimensional linear Schrödinger equation. J. Sci. Comput. 72, 735–760 (2017)
Bramble, J.H., Ewing, R.E., Li, G.: Alternating direction multistep methods for parabolic problems-iterative stabilization. SIAM J. Numer. Anal. 26, 904–919 (1989)
Brenner, S.C., Scott, R.: The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Texts in Applied Mathematics, vol. 15. Springer, New York (2008)
Ciegis, R., Mirinavicius, A., Radzdiunas, M.: Comparison of split step solvers for multidimensional Schrödinger problems. Comput. Methods Appl. Math. 13, 237–250 (2013)
Douglas, J., Jr., Dupont, T., Wheeler, M.F.: A Galerkin procedure for approximating the flux on the boundary for elliptic and parabolic boundary value problems. RAIRO Anal. Numer. 8, 47–59 (1974)
Douglas, J. Jr., Gunn, J.E.: A general formulation of alternating direction method. I. Parabolic and hyperbolic problems. Numer. Math. 6, 428–453 (1964)
Fairweather, G.: Finite Element Galerkin Methods for Differential Equations. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 34. Marcel Dekker, New York (1978)
Fairweather, G., Khebchareon, M.: Numerical methods for Schrödinger-type problems. In: Siddiqi, A.H., Kocvara, M. (eds.) Trends in Industrial and Applied Mathematics, pp. 219–250. Kluwer Academic Publishers, Boston (2002)
Galbraith, I., Ching, Y.S., Abraham, E.: Two-dimensional time-dependent quantum-mechanical scattering event. Am. J. Phys. 52, 60–68 (1984)
Gaspar, F., Rodrigo, C., Ciegis, R., Mirinavicius, A.: Comparison of solvers for 2D Schrödinger problems. Int, J, Numer. Anal. Model. 11, 131–147 (2014)
Kalita, J.C., Chhabra, P., Kumar, S.: A semi-discrete higher order compact scheme for the unsteady two-dimensional Schrödinger equation. J. Comput. Appl. Math. 197, 141–149 (2006)
Kosloff, D., Kosloff, R.: A Fourier method solution for the time dependent Schrödinger equation as a tool in molecular dynamics. J. Comput. Phys. 52, 35–53 (1983)
Li, B., Fairweather, G., Bialecki, B.: Discrete-time orthogonal spline collocation methods for Schrödinger equations in two space variables. SIAM J. Numer. Anal. 35, 453–477 (1998)
Liao, H.-L., Sun, Z.-Z., Shi, H.-S.: Error estimate of fourth-order compact scheme for linear Schrödinger equations. SIAM J. Numer. Anal. 47, 4381–4401 (2010)
Liao, H.-L., Sun, Z.-Z., Shi, H.-S., Wang, T.-C.: Convergence of compact ADI method for solving linear Schrödinger equations. Numer. Methods Partial Differential Equ. 28, 1598–1619 (2012)
McCullough, E.A. Jr., Wyatt, R.E.: Dynamics of the collinear \(H + H_{2}\) reaction I. probability density and flux. J. Chem. Phys. 54, 3578–3591 (1971)
Melenk, J.M., Rieder, A.: Runge-Kutta convolution quadrature and FEM-BEM coupling for the time-dependent linear Schrödinger equation. J. Integral Equations Appl. 29, 189–250 (2017)
Mohebbi, A.M., Dehghan, M.: The use of compact boundary value method for the solution of two-dimensional Schrödinger equation. J. Comput. Appl. Math. 225, 124–134 (2009)
Pani, A.K.: A qualocation method for parabolic partial differential equations. IMA J. Numer. Anal. 19, 473–495 (1999)
Quarteroni, A.: On mixed methods for fourth-order problems. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 24, 13–34 (1980)
Radziunas, M., Ciegis, R., Miridaugas, A.: On compact high-order finite difference schemes for linear Schrödinger equation. Int. J. Numer. Anal. Model. 11, 303–314 (2014)
Register, L.F., Ravaioli, U., Hess, K.: Numerical simulation of mesoscopic systems with open boundaries using the multidimensional time-dependent Schrödinger equation. J. Appl. Phys. 69, 7153–7158 (1991)
Subasi, M.: On the finite-difference schemes for the numerical solution of two-dimensional Schrödinger equation. Numer. Methods Partial Differential Equ. 18, 752–758 (2002)
Tian, Z.F., Yu, P.X.: High-order compact ADI (HOC-ADI) for solving unsteady 2D Schrödinger equation. Comput. Phys. Commun. 181, 861–868 (2010)
Liu, Y., Li, Y.: \(H^1\)-Galerkin mixed finite element method for the linear Schrödinger equation. Adv. Math. 39, 429–442 (2010)
Liu, Y., Wang, J.F., Li, H.: Numerical solutions of a multidimensional Schrödinger equation by an \(H^1\)-Galerkin mixed finite element method. Neimenggu Daxue Xuebai Ziran Kexue. 39, 246–250 (2008)
Zhang, H.J., Jin, J., Wang, J.: Two-grid finite-element method for the two-dimensional time-dependent Schrödinger equation. Adv. Appl. Math. Mech. 8, 180–193 (2013)