Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Các nhóm con được đóng theo đại số và theo ngôn ngữ và các nhóm rút gọn của các nhóm nilpotent sinh hữu hạn
Tóm tắt
Chúng tôi nghiên cứu các nhóm con được đóng theo đại số và theo ngôn ngữ cũng như các nhóm rút gọn của các nhóm nilpotent sinh hữu hạn. Đặc biệt chú trọng đến các nhóm nilpotent tự do và các nhóm UT_n(Z) của các ma trận đơn vị tam giác (n×n) trên vành Z của các số nguyên với n tùy ý. Chúng tôi quan sát rằng tập hợp các nhóm rút gọn của các nhóm nilpotent sinh hữu hạn trùng với tập hợp các nhóm con đóng theo đại số của chúng. Chúng tôi đưa ra một ví dụ cho thấy một nhóm con được đóng theo ngôn ngữ trong một nhóm nilpotent sinh hữu hạn có thể không là một nhóm rút gọn (trong trường hợp này, tương đương với việc không phải là một nhóm con đóng theo đại số). Một ví dụ khác cho thấy rằng giao của các nhóm rút gọn (các nhóm con đóng theo đại số) trong một nhóm nilpotent tự do có thể không là nhóm rút gọn (một nhóm con đóng theo đại số) trong nhóm này. Chúng tôi thiết lập các điều kiện cần thiết được thực hiện trên các nhóm rút gọn của các nhóm nilpotent sinh hữu hạn tùy ý. Chúng tôi tìm được các điều kiện đủ để có tính chất là một nhóm rút gọn trong một nhóm nilpotent sinh hữu hạn. Một thuật toán được trình bày để xác định tính chất là một nhóm rút gọn cho một nhóm con trong nhóm nilpotent tự do có hạng hữu hạn (một giải pháp cho một bài toán của Myasnikov). Chúng tôi cũng nhận được một kết quả tổng quát về các nhóm con được đóng theo tồn tại trong các nhóm nilpotent sinh hữu hạn không có độ xoáy với tâm chu trình, điều này đặc biệt ngụ ý rằng với mỗi n, nhóm UT_n(Z) không có các nhóm con được đóng theo tồn tại hợp lệ.
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Lyndon R. C. and Schupp P. E., Combinatorial Group Theory, Springer-Verlag, Berlin etc. (2001).
Roman’kov V. A., “Diophantine questions in the class of finitely generated nilpotent groups,” J. Group Theory, vol. 19, no. 3, 497–514 (2016).
Baumslag G., Myasnikov A., and Shpilrain V., “Open problems in combinatorial group theory,” Contemp. Math., vol. 296, 1–38 (2002) (http://grouptheory.info, Open Problems).
Bergman G. M., “Supports of derivations, free factorizations and ranks of fixed subgroups in free groups,” Trans. Amer. Math. Soc., vol. 351, no. 4, 1551–1573 (1999).
Mazurov V. D. and Khukhro E. I. (eds.), The Kourovka Notebook: Unsolved Problems in Group Theory. 17th ed., Sobolev Inst. Math., Novosibirsk (2010).
Myasnikov A. and Roman’kov V., “Verbally closed subgroups of free groups,” J. Group Theory, vol. 17, no. 1, 29–40 (2014).
Hall P., The Edmonton Notes on Nilpotent Groups, Queen Mary College Math. Notes, London (1969).
Roman’kov V., “Equations over groups,” Groups, Complexity, Cryptology, vol. 4, no. 2, 191–239 (2012).
Roman’kov V. A. and Khisamiev N. G., “Verbally and existentially closed subgroups of free nilpotent groups,” Algebra and Logic, vol. 52, no. 4, 336–351 (2013).
Roman’kov V. A. and Khisamiev N. G., “Existentially closed subgroups of free nilpotent groups,” Algebra and Logic, vol. 53, no. 1, 29–38 (2014).
Kargapolov M. I. and Merzlyakov Yu. I., Fundamentals of the Theory of Groups, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, and Berlin (1979).
Remeslennikov V. N. and Roman’kov V. A., “Model-theoretic and algorithmic questions in group theory,” J. Math. Sci., vol. 31, no. 3, 2887–2939 (1985).