Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Tương đối học hình cầu affine
Tóm tắt
Chúng tôi nghiên cứu các không-thời gian mà trong đó các nón ánh sáng có thể là không đồng nhất. Chúng tôi chứng minh tính tương đương của các cấu trúc: (a) đa diện Lorentz–Finsler cho mà độ xoắn Cartan trung bình bằng không, (b) đa diện Lorentz–Finsler cho mà ở mỗi điểm, không gian chỉ thị (không gian quan sát viên) là một hình cầu affine hyperbolic lồi tập trung tại phần không, và (c) cặp được xác định bằng thể tích không-thời gian và phân bố nón lồi sắc nét. Tính tương đương này gợi ý để mô tả các không-thời gian (hình cầu affine) với cấu trúc này, đến mức không có khái niệm đại số-metrical nào được đưa vào định nghĩa. Kết quả là, công trình này cho thấy cách mà các đặc điểm metric của không-thời gian phát sinh từ những khái niệm cơ bản như đo lường và thứ tự. Các không-thời gian phi tương đối được thu được bằng cách thay thế các hình cầu chính xác bằng các hình cầu không chính xác, do đó sự phân biệt không yêu cầu các yếu tố lý thuyết nhóm. Về mặt vật lý, trong các không-thời gian hình cầu affine, phân bố nón ánh sáng và thể tích không-thời gian xác định chuyển động của các hạt có khối lượng và không có khối lượng (do đó là mối quan hệ phân tán). Hơn nữa, đã chỉ ra rằng, nói chung, đối với các lý thuyết Lorentz–Finsler không có khả năng vi phân tại nón, các đường sinh rỗng ánh sáng và việc vận chuyển động lượng hạt trên đó được xác định rõ, mặc dù tham số hóa đường cong có thể không xác định. Lý thuyết nguyên nhân cũng hoạt động tốt. Một vài kết quả cho các không-thời gian hình cầu affine được trình bày. Một số kết quả trong hình học Finsler, chẳng hạn như trong việc phân loại không gian Randers, cũng được đưa vào.
Từ khóa
#không-thời gian #hình cầu affine #đa diện Lorentz–Finsler #độ xoắn Cartan #phân bố nón lồiTài liệu tham khảo
Aazami A.B., Javaloyes M.A.: Penrose’s singularity theorem in a Finsler spacetime. Class. Quantum Grav. 33, 025003 (2016)
Álvarez Paiva, J.C., Thompson, A. C.: Volumes on normed and Finsler spaces. In: A sampler of Riemann–Finsler geometry, vol. 50, pp. 1–48. Cambridge Univ. Press, Cambridge. Math. Sci. Res. Inst. Publ. (2004)
Anderson J.L., Finkelstein D.: Cosmological constant and fundamental length. Am. J. Phys. 39, 901–904 (1971)
Asanov G.S.: Finsler geometry, relativity and gauge theories. D. Reidel Publishing Co, Dordrecht (1985)
Basilakos S., Kouretsis A.P., Saridakis E.N., Stavrinos P.: Resembling dark energy and modified gravity with Finsler-Randers cosmology. Phys. Rev. D. 88, 123510 (2013)
Beem J.K.: Indefinite Finsler spaces and timelike spaces. Can. J. Math. 22, 1035–1039 (1970)
Beem, J.K.: On the indicatrix and isotropy group in Finsler spaces with Lorentz signature. Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 54(8), 385–392 (1974) (1973)
Benoist Y.: Convexes divisibles. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 332, 387–390 (2001)
Blaschke, W.: Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie. Band II., Affine Differentialgeometrie. J. Springer, Berlin (1923)
Bock R.D.: Local scale invariance and general relativity. Int. J. Theor. Phys. 42, 1835–1847 (2003)
Bombelli L., Lee J.-H., Meyer D., Sorkin R.D.: Space-time as a causal set. Phys. Rev. Lett. 59, 521–524 (1987)
Brickell F.: A new proof of Deicke’s theorem on homogeneous functions. Proc. Am. Math. Soc. 16, 190–191 (1965)
Calabi E.: Improper affine hyperspheres of convex type and a generalization of a theorem by K. Jörgens. Michigan Math. J. 5, 105–126 (1958)
Calabi, E.: Complete affine hyperspheres. I. In: Symposia Mathematica, Vol. X (Convegno di Geometria Differenziale, INDAM, Rome, 1971), pp. 19–38. Academic Press, London (1972)
Cartan E.: Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (première partie). Ann. Sci. École Norm. Sup. (3) 40, 325–412 (1923)
Castro C.: Gravity in curved phase-spaces, Finsler geometry and two-times physics. Int. J. Mod. Phys. A. 27, 1250069 (2012)
Cheng S.-Y., Yau S.-T.: On the regularity of the Monge-Ampère equation \({{\rm det}(\partial ^{2}u/\partial x_{i} \partial x_{j})=F(x,u)}\). Comm. Pure Appl. Math. 30, 41–68 (1977)
Cheng, S.Y., Yau, S.-T.: The real Monge-Ampère equation and affine flat structures. In: Proceedings of the 1980 Beijing Symposium on Differential Geometry and Differential Equations, Vol. 1, 2, 3 (Beijing, 1980), pp. 339–370. Science Press, Beijing (1982)
Cheng S.-Y., Yau S.-T.: Complete affine hypersurfaces. I. The completeness of affine metrics. Comm. Pure Appl. Math. 39, 839–866 (1986)
Deicke A.: Über die Finsler–Räume mit A i = 0. Arch. Math. 4, 45–51 (1953)
Dillen F., Vrancken L.: Calabi-type composition of affine spheres. Diff. Geom. Appl. 4, 303–328 (1994)
Dixon W.G.: On the uniqueness of the Newtonian theory as a geometric theory of gravitation. Commun. Math. Phys. 45, 167–182 (1975)
Duval C., Burdet G., Künzle H.P., Perrin M.: Bargmann structures and Newton–Cartan theory. Phys. Rev. D 31, 1841–1853 (1985)
Duval, C., Gibbons, G.W., Horvathy, P.A., Zhang, P.M.: Carroll versus Newton and Galilei: two dual non-Einsteinian concepts of time. Class. Quantum Grav. 31 (2014)
Fox D.J.F.: Functions dividing their Hessian determinants and affine spheres. Asian J. Math. 20(3), 503–530 (2016)
Fox D.J.F.: A Schwarz lemma for Kähler affine metrics and the canonical potential of a proper convex cone. Annali di Matematica 194, 1–42 (2015)
Geroch R.: A method for generating solutions of Einstein’s equations. J. Math. Phys. 12, 918–923 (1971)
Ghomi, M.: The problem of optimal smoothing for convex functions. Proc. Am. Math. Soc. 130, 2255–2259 (2002) (electronic)
Gigena S.: Integral invariants of convex cones. J. Diff. Geom. 13, 191–222 (1981)
Gigena S.: On a conjecture by E. Calabi. Geom. Dedicata 11, 387–396 (1981)
Godbillon C.: Géométrie différentielle et mécanique analytique. Hermann, Paris (1969)
Hartman P.: Ordinary differential equations. Wiley, New York (1964)
Hildebrand R.: Analytic formulas for complete hyperbolic affine spheres. Contrib. Algebra Geometr. 55, 497–520 (2014)
Hildebrand R.: Canonical barriers on convex cones. Math. Oper. Res. 39, 841–850 (2014)
Hildebrand R.: Centro-affine hypersurface immersions with parallel cubic form. Contrib. Algebra Geometr. 56, 593–640 (2015)
Hu Z., Li H., Vrancken L.: Locally strongly convex affine hypersurfaces with parallel cubic form. J. Differ. Geom. 87, 239–308 (2011)
Horváth J.I.: A geometrical model for the unified theory of physical fields. Phys. Rev. 80, 901 (1950)
Horváth J.I., Moór A.: Entwicklung einer einheitlichen feldtheorie begründet auf die finslersche geometrie. Z. Physik 131, 544–570 (1952)
Ikeda S.: On the theory of gravitational field in Finsler spaces. Lett. Nuovo Cimento 26, 277–281 (1979)
Ishikawa H.: Einstein equation in lifted Finsler spaces. Il Nuovo Cimento 56, 252–262 (1980)
Ishikawa H.: Note on Finslerian relativity. J. Math. Phys. 22, 995–1004 (1981)
Jian H., Wang X.-J.: Bernstein theorem and regularity for a class of Monge–Ampère equations. J. Differ. Geom. 93, 431–469 (2013)
Jo K.: Quasi-homogeneous domains and convex affine manifolds. Topol. Appl. 134, 123–146 (2003)
Jörgens K.: Über die Lösungen der Differentialgleichung \({rt-s^2=1}\). Math. Ann. 127, 130–134 (1954)
Knebelman M.S.: Conformal geometry of generalized metric spaces. Proc. N. A. S. 15, 376–379 (1929)
Kobayashi, S., Nomizu, K.: Foundations of differential geometry. vol. I of Interscience tracts in pure and applied mathematics. Interscience Publishers, New York (1963)
Künzle H.P.: Galilei and Lorentz structures on space-time: comparison of the correspondig geometry and physics. Ann. Inst. H. Poincaré Phys. Theor. 17, 337–362 (1972)
Künzle H.P.: Covariant Newtonian limit of Lorentz space-times. Gen. Rel. Grav. 7, 445–457 (1976)
Lämmerzahl C., Perlick V., Hasse W.: Observable effects in a class of spherically symmetric static Finsler spacetimes. Phys. Rev. D. 86, 104042 (2012)
Laugwitz, D.: Geometrical methods in the differential geometry of Finsler spaces. In: Geometria del calcolo delle variazioni, pp. 173–226. Springer, Heidelberg, Fondazione C.I.M.E., Florence, vol. 23 of C.I.M.E. Summer Sch. (2011) (Reprint of the 1961 original)
Li A.-M.: Calabi conjecture on hyperbolic affine hyperspheres. II. Math. Ann. 293, 485–493 (1992)
Li, A.M., Simon, U., Zhao, G.S.: Global affine differential geometry of hypersurfaces. Vol. 11 of de Gruyter Expositions in Mathematics. Walter de Gruyter & Co., Berlin (1993)
Li A.-M., Xu R.: A cubic form differential inequality with applications to affine kähler–ricci flat manifolds. Res. Math. 54, 329–340 (2009)
Li A.-M., Xu R.: A rigidity theorem for an affine Kähler–Ricci flat graph. Res. Math. 56, 141–164 (2009)
Li, X., Chang, Z.: Exact solution of vacuum field equation in Finsler spacetime. Phys. Rev. D. 90, 064049. arXiv:1401.6363v1 (2014)
Lin F.H., Wang L.: A class of fully nonlinear elliptic equations with singularity at the boundary. J. Geom. Anal. 8, 583–598 (1998)
Loewner, C., Nirenberg, L.: Partial differential equations invariant under conformal or projective transformations. In: Contributions to analysis (a collection of papers dedicated to Lipman Bers), pp. 245–272. Academic Press, New York (1974)
Loftin, J.: Survey on affine spheres. In: Handbook of geometric analysis, No. 2., pp. 161–191. Int. Press, Somerville, MA, vol. 13 of Adv. Lect. Math. (ALM) (2010)
Loftin J.C.: Riemannian metrics on locally projectively flat manifolds. Am. J. Math. 124, 595–609 (2002)
Matsumoto M.: On c-reducible Finsler spaces. Tensor 24, 29–37 (1972)
Matsumoto M.: On the indicatrices of a Finsler space. Period. Math. Hung. 8, 187–191 (1977)
Matsumoto M., Hōjō S.: A conclusive theorem on c-reducible Finsler spaces. Tensor 32, 225–230 (1978)
Minguzzi, E.: The connections of pseudo-Finsler spaces. Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 11, 1460025 (2014). Erratum ibid 12 (2015) 1592001. arXiv:1405.0645
Minguzzi, E.: Convex neighborhoods for Lipschitz connections and sprays. Monatsh. Math. 177, 569–625 (2015). arXiv:1308.6675
Minguzzi, E.: Light cones in Finsler spacetime. Commun. Math. Phys. 334, 1529–1551 (2015). arXiv:1403.7060
Minguzzi, E.: Raychaudhuri equation and singularity theorems in Finsler spacetimes. Class. Quantum Grav. 32, 185008 (2015). arXiv:1502.02313
Minguzzi, E.: How many futures on Finsler spacetime? J. Phys. Conf. Ser. 626, 012029 (2015). arXiv:1502.02313
Minguzzi, E.: A divergence theorem for pseudo-Finsler spaces (2015). arXiv:1508.06053
Minguzzi, E.: Affine sphere spacetimes which satisfy the relativity principle. Phys. Rev. D. (2016) in press)
Minguzzi, E.: An equivalence of Finslerian relativistic theories. Rep. Math. Phys. 77, 45–55 (2016). arXiv:1412.4228
Miron R.: On the Finslerian theory of relativity. Tensor 44, 63–81 (1987)
Miron R., Rosca R., Anastasiei M., Buchner K.: New aspects of Lagrangian relativity. Found. Phys. Lett. 5, 141–171 (1992)
Mo, L., Xiaohuan, Huang: On characterizations of Randers norms in Minkowski space. Int. J. Math. 21 (2010)
Nomizu K., Sasaki T.: Affine differential geometry. Cambridge University Press, Cambridge (1994)
Perlick V.: Fermat principle in Finsler spacetimes. Gen. Relat. Gravit. 38, 365–380 (2006)
Pfeifer C., Wohlfarth M.N.R.: Finsler geometric extension of Einstein gravity. Phys. Rev. D. 85, 064009 (2012)
Pimenov, R. I.: Axiomatics of generally relativistic and Finsler space-times by means of causality. Sibirsk. Mat. Zh. 29, 133–143, 218 (1988)
Pogorelov A.V.: On the improper convex affine hyperspheres. Geom. Dedicata 1, 33–46 (1972)
Randers G.: On an asymmetric metric in the four-space of general relativity. Phys. Rev. D. 59, 195–199 (1941)
Rutz S.F.: A Finsler generalisation of Einstein’s vacuum field equations. Gen. Relat. Gravit. 25, 1139–1158 (1993)
Sasaki T.: Hyperbolic affine hyperspheres. Nagoya Math. J. 77, 107–123 (1980)
Simon U.: Zur Relativgeometrie: Symmetrische Zusammenhänge auf Hyperflächen. Math. Z. 106, 36–46 (1968)
Stavrinos P.C.: Gravitational and cosmological considerations based on the Finsler and Lagrange metric structures. Nonlinear Anal. 71, e1380–e1392 (2009)
Stavrinos P.C., Kouretsis A.P., Stathakopoulos M.: Friedman-like Robertson–Walker model in generalized metric space-time with weak anisotropy. Gen. Relat. Gravit. 40, 1403–1425 (2008)
Storer T.P.: Generalized relativity: a unified field theory based on free geodesic connections in Finsler space. Internat. J. Theoret. Phys. 39, 1351–1374 (2000)
Takano Y.: Gravitational field in Finsler spaces. Lettere al Nuovo Cimento 10, 747–750 (1974)
Takano Y.: Variation principle in Finsler spaces. Lettere al Nuovo Cimento 11, 486–490 (1974)
Teitelboim, M. H.C.: The cosmological constant and general covariance. Phys. Lett. B. 222 (1989)
Toupin R.A.: World invariant kinematics. Arch. Rational Mech. Anal. 1, 181–211 (1958)
Trautman A.: Sur la théorie newtonienne de la gravitation. C. R. Acad. Sci. Paris. 257, 617–620 (1963)
Trudinger N.S., Wang X.-J.: Affine complete locally convex hypersurfaces. Invent. Math. 150, 45–60 (2002)
Trudinger, N.S., Wang, X.-J.: The Monge–Ampère equation and its geometric applications. In: Handbook of geometric analysis. No. 1, pp. 467–524. Int. Press, Somerville, MA, vol. 7 of Adv. Lect. Math. (ALM) (2008)
Vacaru, S.I.: Principles of Einstein–Finsler gravity and perspectives in modern cosmology. Int. J. Mod. Phys. D. 21, 1250072, 40 (2012)
Vinberg, È.B.: The theory of convex homogeneous cones. Trudy Moskov. Mat. Obšč. 12, 303–358 (1963). [Trans. Mosc. Math. Soc. 12, 340–403 (1963)
Vinberg È.B., Kac V.G.: Quasi-homogeneous cones. Mat. Zametki 1, 347–354 (1967)
Voicu N.: New considerations on Einstein equations in anisotropic spaces. AIP Conf. Proc. 1283, 249–257 (2010)
Wald R.M.: General Relativity. The University of Chicago Press, Chicago (1984)
Xu, R., Zhu, L.: A simple proof of a rigidity theorem for an affine Kähler–Ricci flat graph. Res. Math. (2015) (in press)
Yan M.: Extension of convex function. J. Convex Anal. 21, 965–987 (2014)