Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Vấn đề thiết kế hình dạng cho dòng chảy Navier–Stokes với điều kiện biên đối lưu
Tóm tắt
Trong nghiên cứu này, một vấn đề tối ưu hóa hình dạng cho các phương trình Navier–Stokes tĩnh hai chiều với điều kiện biên giả được xem xét. Chất lỏng được giả định đang chảy qua một kênh hình chữ nhật, và điều kiện biên giả được xây dựng nhằm xem xét khả năng xảy ra tình trạng kém xác định do điều kiện biên không làm gì. Mục tiêu của vấn đề tối ưu hóa là tối đa hóa độ xoáy của chất lỏng nói trên bằng cách xác định hình dạng của một chướng ngại vật bên trong kênh. Trong khi đó, sự biến đổi hình dạng bị giới hạn bởi một chức năng chu vi và một ràng buộc về thể tích. Chức năng chu vi được xem xét như một bộ điều chỉnh Tikhonov và ràng buộc về thể tích được thêm vào để miễn trừ chúng tôi khỏi những thay đổi về mặt hình thái có thể xảy ra. Đạo hàm hình dạng của chức năng mục tiêu được xây dựng bằng phương pháp sắp xếp lại, và đạo hàm này sau đó được sử dụng cho các phương pháp giảm dần theo gradient. Thêm vào đó, một phương pháp Lagrangian tăng cường và một lớp các trường biến dạng solenoidal đã được xem xét để tính đến mục tiêu bảo tồn thể tích. Cuối cùng, các ví dụ số dựa trên các phương pháp giảm dần theo gradient và bảo tồn thể tích được trình bày.
Từ khóa
#tối ưu hóa hình dạng #phương trình Navier-Stokes #điều kiện biên giả #độ xoáy #phương pháp giảm dần theo gradientTài liệu tham khảo
Adams RA, Fournier JJ (2003) Sobolev Spaces, vol 140. Elsevier, Langford Lane, Kidlington
Allaire G, Pantz O (2006) Structural optimization with freefem++. Struct Multidisciplinary Opt 32(3):173–181. https://doi.org/10.1007/s00158-006-0017-y
Azegami H, Takeuchi K (2006) A smoothing method for shape optimization: traction method using the Robin condition. Int J Comput Methods 03(01):21–33. https://doi.org/10.1142/S0219876206000709
Bertoluzza S, Chabannes V, Prud’homme C, Szopos M (2017) Boundary conditions involving pressure for the Stokes problem and applications in computational hemodynamics. Comput Methods Appl Mech Eng 322:58–80. https://doi.org/10.1016/j.cma.2017.04.024
Braack M, Mucha PB (2014) Directional do-nothing condition for the Navier-Stokes equations. J Comput Math 32(5):507–521. https://doi.org/10.4208/jcm.1405-m4347
Bruneau CH, Fabrie P (1996) New efficient boundary conditions for incompressible Navier-Stokes equations : a well-posedness result. ESAIM 30(7):815–840
Chenais D (1975) On the existence of a solution in a domain identification problem. J Math Anal Appl 52(2):189–219. https://doi.org/10.1016/0022-247X(75)90091-8
Colin M, Fabrie P (2010) A variational approach for optimal control of the Navier-Stokes Equations. Advances in Differential Equations 15(9/10):829–852. https://doi.org/ade/1355854613
Dapogny C, Frey P, Omnès F, Privat Y (2018) Geometrical shape optimization in fluid mechanics using FreeFem++. Struct Multidisciplinary Opt 58(6):2761–2788. https://doi.org/10.1007/s00158-018-2023-2
Delfour M, Zolesio JP (2011) Shapes and Geometries: Metrics, Analysis, Differential Calculus, and Optimization (2 ed.). Philadelphia, USA: Society for Ind Appl Math
Desai M, Ito K (1994) Optimal controls of Navier–Stokes equations. SIAM J Control Opt 32(5):1428–1446. https://doi.org/10.1137/S0363012992224972
Eggl MF, Schmid PJ (2020) Mixing enhancement in binary fluids using optimised stirring strategies. J Fluid Mech 899:A24. https://doi.org/10.1017/jfm.2020.448
Evans L (1998) Partial Differential Equations. Graduate studies in mathematics. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society
Fürsikov A, Gunzburger M, Hou LS, Manservisi S (2000) Optimal control problems for the Navier-Stokes equations. In: Bungartz H-J, Hoppe RHW, Zenger C (eds) Lectures on Applied Mathematics, Berlin, Heidelberg. Springer, Berlin Heidelberg, pp 143–155
Gao ZM, Ma YC, Zhuang HW (2008) Shape optimization for Navier–Stokes flow. Inverse Prob Sci Eng 16(5):583–616. https://doi.org/10.1080/17415970701743319
Girault V, Raviart PA (1986) Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations: Theory and Algorithms, Volume 5 of Springer Series in Computational Mathematics. Berlin Heidelberg: Springer
Goto K, Nakajima K, Notsu H (2021) Twin vortex computer in fluid flow. New J Phys 23(6):063051. https://doi.org/10.1088/1367-2630/ac024d
Gresho P (1991) Some current CFD issues relevant to the incompressible navier-stokes equations. Comput Methods Appl Mech Eng 87(2):201–252. https://doi.org/10.1016/0045-7825(91)90006-R
Gunzburger MD, Kim H (1998) Existence of an optimal solution of a shape control problem for the stationary Navier–Stokes equations. SIAM J Control Opt 36(3):895–909. https://doi.org/10.1137/S0363012994276123
H. Hardy JEL, Pólya G (1934) Inequalities. Fetter Lane London: Cambridge University Press
Hecht F (2012) New development in FreeFem++. J Numer Math 20(3–4):251–265
Henrot A, Pierre M (2014) Shape Variation and Optimization: A Geometrical Analysis (28 ed.). Zürich, Switzerland: EMS Tracts in Mathematics
Henrot A, Privat Y (2010) What is the optimal shape of a pipe? Arch Rational Mech Anal 196(1):281–302. https://doi.org/10.1007/s00205-009-0243-8
Heywood JG, Rannacher R, Turek S (1992) Artificial boundaries and flux and pressure conditions for the incompressible Navier-Stokes equations. Technical report
Ito K, Kunisch K, Peichl GH (2008) Variational approach to shape derivatives. ESAIM: COCV 14(3):517–539. https://doi.org/10.1051/cocv:2008002
Kasumba H, Kunisch K (2012) Vortex control in channel flows using translational invariant cost functionals. Comput Opt Appl 52(3):691–717. https://doi.org/10.1007/s10589-011-9434-y
Mather G, Mezić I, Grivopoulos S, Vaidya U, Petzold L (2007) Optimal control of mixing in Stokes fluid flows. J Fluid Mech 580:261–281. https://doi.org/10.1017/S0022112007005332
Mohammadi B, Pironneau O (2004) Shape optimization in fluid mechanics. Ann Rev Fluid Mech 36(1):255–279. https://doi.org/10.1146/annurev.fluid.36.050802.121926
Mohammadi B, Pironneau O (2010) Applied Shape Optimization for Fluids. Numerical Mathematics and Scientific Computation. Great Clarendon Street, Oxford: Oxford University Press
Monk P (2003) Finite Element Methods for Maxwell’s Equations. Numerical Mathematics and Scientific Computation. Great Clarendon Street, Oxford: Oxford University Press
Moubachir M, Zolesio JP (2006) Moving shape analysis and control: applications to fluid structure interactionss, 1st edn. Chapman and Hall/CRC, New York
Murai D, Azegami H (2013) Error analysis of the H1 gradient method for shape-optimization problems of continua. JSIAM Lett 5:29–32. https://doi.org/10.14495/jsiaml.5.29
Nocedal J, Wright S (2006) Numerical Optimization, Volume 2 of Springer Series in Operations Research and Financial Engineering. Springer-Verlag New York
Notsu H, Tabata M (2016) Error estimates of a stabilized Lagrange–Galerkin scheme for the Navier–Stokes equations. ESAIM: M2AN 50(2):361–380. https://doi.org/10.1051/m2an/2015047
Rabago JFT, Azegami H (2019) An improved shape optimization formulation of the bernoulli problem by tracking the neumann data. Journal of Engineering Mathematics 117(1):1–29. https://doi.org/10.1007/s10665-019-10005-x
Rabago JFT, Azegami H (2020) A second-order shape optimization algorithm for solving the exterior Bernoulli free boundary problem using a new boundary cost functional. Computational Optimization and Applications. https://doi.org/10.1007/s10589-020-00199-7
Schmidt S, Schulz V (2011) Shape derivatives for general objective functions and the incompressible Navier–Stokes equations. Control Cybernet 39(3):989–1017
Simon JSH, Notsu H (2022) A convective boundary condition for the Navier–Stokes equations. Appl Math Lett 128:107876. https://doi.org/10.1016/j.aml.2021.107876
Simon JSH, Notsu H (2022b) A shape optimization problem constrained with the stokes equations to address maximization of vortices. Evolution Equations & Control Theory 0: –. https://doi.org/10.3934/eect.2022003
Sokolowski J, Zolesio JP (1992) Introduction to Shape Optimization: Shape Sensitivity Analysis (1 ed.). Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg
Süli E (1988) Convergence and nonlinear stability of the Lagrange–Galerkin method for the Navier–Stokes equations. Numerische Mathematik 53(4):459–483. https://doi.org/10.1007/BF01396329
Temam R (2001) Navier-Stokes equations: theory and numerical analysis, 3rd edn. AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island
Tröltzsch F (2010) Large-scale scientific computing, Berlin, Heidelberg. Springer, Berlin Heidelberg, pp 40–53
Zhou G, Saito N (2016) The Navier–Stokes equations under a unilateral boundary condition of Signorini’s type. J Math Fluid Mech 18(3):481–510. https://doi.org/10.1007/s00021-016-0248-7