Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Một công thức đại diện cho đạo hàm chuẩn phân phối
Tóm tắt
Chúng tôi chứng minh một công thức đại diện tích phân cho đạo hàm chuẩn phân phối của các nghiệm của hệ phương trình
$$\begin{aligned} {\left\{ \begin{array}{ll} \begin{aligned} - \Delta u + V u &{}= \mu &{}&{} \text {trong }\Omega , \\ u &{}= 0 &{}&{} \text {trên }\partial \Omega , \end{aligned} \end{array}\right. } \end{aligned}$$
trong đó
$$V \in L_\mathrm {loc}^1(\Omega )$$
là một hàm không âm và
$$\mu $$
là một phép đo Borel hữu hạn trên
$$\Omega $$
. Như một ứng dụng, chúng tôi chỉ ra rằng định lý Hopf đúng gần như mọi nơi trên
$$\partial \Omega $$
khi
$$V$$
là một tiềm năng Hopf không âm.
Từ khóa
#đạo hàm chuẩn #công thức đại diện #phép đo Borel #tiềm năng Hopf #định lý Hopf #phương trình vi phânTài liệu tham khảo
Ancona, A.: Une propriété d’invariance des ensembles absorbants par perturbation d’un opérateur elliptique. Commun. Partial Differ. Equ. 4(4), 321–337 (1979)
Brezis, H., Marcus, M., Ponce, A.C.: Nonlinear elliptic equations with measures revisited. In: Mathematical Aspects of Nonlinear Dispersive Equations. Ann. Math. Stud., vol. 163, pp. 55–109. Princeton Univ. Press, Princeton, NJ (2007)
Brezis, H., Ponce, A.C.: Remarks on the strong maximum principle. Differ. Integral Equ, 16(1), 1–12 (2003)
Brezis, H., Ponce, A.C.: Kato’s inequality up to the boundary. Commun. Contemp. Math. 10(6), 1217–1241 (2008)
Maso, D., Gianni, M., Umberto: Wiener criteria and energy decay for relaxed Dirichlet problems. Arch. Rational Mech. Anal. 95(4), 345–387 (1986)
Littman, W., Stampacchia, G., Weinberger, H.F.: Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 17, 43–77 (1963)
Malusa, A., Orsina, L.: Existence and regularity results for relaxed Dirichlet problems with measure data. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 170, 57–87 (1996)
Marcus, M., Véron, L.: Nonlinear Second Order Elliptic Equations Involving Measures, De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol. 21. De Gruyter, Berlin (2014)
Orsina, L., Ponce, A.C.: Hopf potentials for the Schrödinger operator. Anal. PDE 11(8), 2015–2047 (2018)
Orsina, L., Ponce, A.C.: On the nonexistence of Green’s function and failure of the strong maximum principle. J. Math. Pures Appl. (9) 134, 72–121 (2020)
Ponce, A.C.: Elliptic PDEs, measures and capacities. From the Poisson equations to nonlinear Thomas-Fermi problems. In: EMS Tracts in Mathematics, vol. 23. European Mathematical Society (EMS), Zürich (2016)
Ponce, A.C., Wilmet, N.: The Hopf lemma for the Schrödinger operator. Adv. Nonlinear Stud. 20(2), 459–475 (2020)
Trudinger, N.S.: On the positivity of weak supersolutions of nonuniformly elliptic equations. Bull. Aust. Math. Soc. 19(3), 321–324 (1978)