Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Giới hạn gradient a priori cho các hệ elliptic dưới các điều kiện tăng trưởng chậm hoặc nhanh
Tóm tắt
Chúng tôi thu được một giới hạn a priori
$$W_{{\mathrm{loc}}}^{1,\infty }\left( \Omega ; {\mathbb {R}}^{m}\right) $$
cho các nghiệm yếu của hệ phương trình elliptic
$$\begin{aligned} \text {div}A\left( x,Du\right) =\sum _{i=1}^{n}\frac{\partial }{\partial x_{i}} a_{i}^{\alpha }\left( x,Du\right) =0,\;\;\;\;\;\alpha =1,2,\ldots ,m, \end{aligned}$$
trong đó
$$\Omega $$
là một tập mở của
$${\mathbb {R}}^{n}$$
,
$$n\ge 2$$
, và u là một ánh xạ có giá trị vector
$$u:\Omega \subset {\mathbb {R}}^{n}\rightarrow {\mathbb {R}}^{m}$$
. Trường vector
$$A\left( x,\xi \right) $$
có tính chất biến phân, có nghĩa là
$$A\left( x,\xi \right) =D_{\xi }f\left( x,\xi \right) $$
, trong đó
$$ f=f\left( x,\xi \right) $$
là một hàm lồi liên quan đến
$$\xi \in {\mathbb {R}}^{m\times n}$$
. Trong ngữ cảnh của các ánh xạ vector và các hệ thống, một giả định cổ điển nhằm đạt được tính đồng đều ở mọi nơi là sự phụ thuộc vào mô-đun trong tích phân năng lượng; tức là, chúng tôi yêu cầu rằng
$$f\left( x,\xi \right) =g\left( x,\left| \xi \right| \right) $$
, trong đó
$$ g\left( x,t\right) $$
là một hàm lồi và tăng dần theo biến độ dốc
$$t\in \left[ 0,\infty \right) $$
. Chúng tôi cho phép phụ thuộc vào x, điều này chứng tỏ là một sự khác biệt quan trọng so với trường hợp độc lập và không chỉ là một sự nhiễu kỹ thuật. Các giả định của chúng tôi cho phép xem xét cả sự tăng trưởng nhanh và chậm. Chúng tôi xem xét sự tăng trưởng nhanh ngay cả dạng mũ; và sự tăng trưởng chậm, chẳng hạn như kiểu Orlicz với các tích phân năng lượng như
$$g\left( x,\left| Du\right| \right) =a(x)|Du|^{p(x)}\log (1+|Du|)$$
hoặc, khi
$$n=2,3$$
, thậm chí là sự tăng trưởng tuyến tính tiệm cận với các tích phân năng lượng kiểu
$$\begin{aligned} \int _{\Omega }g\left( x,\left| Du\right| \right) dx\,=\int _{\Omega }\left\{ \left| Du\right| -a\left( x\right) \sqrt{\left| Du\right| }\right\} dx. \end{aligned}$$
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Baroni, P., Colombo, M., Mingione, G.: Harnack inequalities for double phase functionals. Nonlinear Anal. 121, 206–222 (2015)
Baroni, P., Colombo, M., Mingione, G., Nonautonomous functionals, borderline cases and related function classes, Algebra i Anal. 27, 6–50 (2015); translation in St. Petersburg Math. J. 27, 347–379 (2016)
Baroni, P., Colombo, M., Mingione, G.: Regularity for general functionals with double phase. Calc. Var. Partial Differ. Equ. 57, 57–62 (2018)
Beck, L., Mingione, G.: Lipschitz bounds and non-uniformly ellipticity. Commun. Pure Appl. Math. 73, 944–1034 (2020)
Bögelein, V., Dacorogna, B., Duzaar, F., Marcellini, P., Scheven, C.: Integral convexity and parabolic systems. SIAM J. Math. Anal.: SIMA 52, 1489–1525 (2020)
Bögelein, V., Duzaar, F., Marcellini, P.: Parabolic equations with \(p, q\)-growth. J. Math. Pures Appl. 100, 535–563 (2013)
Bögelein, V., Duzaar, F., Marcellini, P., Signoriello, S.: Nonlocal diffusion equations. J. Math. Anal. Appl. 432, 398–428 (2015)
Bousquet, P., Brasco, L.: Lipschitz regularity for orthotropic functionals with nonstandard growth conditions. Rev. Mat, Iberoam. (2020). https://www.ems-ph.org/JOURNALS/of_article.php?jrn=rmi&doi=1189
Carozza, M., Giannetti, F., Leonetti, F., Passarelli di Napoli, A.: Pointwise bounds for minimizers of some anisotropic functionals. Nonlinear Anal. 177, 254–269 (2018)
Cencelja, M., Rădulescu, V., Repovš, D.: Double phase problems with variable growth. Nonlinear Anal. 177, 270–287 (2018)
Chlebicka, I.: A pocket guide to nonlinear differential equations in Musielak–Orlicz spaces. Nonlinear Anal. 175, 1–27 (1918)
Chlebicka, I., Gwiazda, P., Zatorska-Goldstein, A.: Parabolic equation in time and space dependent anisotropic Musielak–Orlicz spaces in absence of Lavrentiev’s phenomenon. Ann. I. H. Poincaré 36, 1431–1465 (2019)
Colombo, M., Mingione, G.: Regularity for double phase variational problems. Arch. Ration. Mech. Anal. 215, 443–496 (2015)
Colombo, M., Mingione, G.: Bounded minimisers of double phase variational integrals. Arch. Ration. Mech. Anal. 218, 219–273 (2015)
Cupini, G., Giannetti, F., Giova, R., Passarelli di Napoli, A.: Regularity results for vectorial minimizers of a class of degenerate convex integrals. J. Differ. Equ. 265, 4375–4416 (2018)
Cupini, G., Marcellini, P., Mascolo, E.: Regularity under sharp anisotropic general growth conditions. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B 11, 66–86 (2009)
Cupini, G., Marcellini, P., Mascolo, E.: Local boundedness of solutions to quasilinear elliptic systems. Manuscr. Math. 137, 287–315 (2012)
Cupini, G., Marcellini, P., Mascolo, E.: Nonuniformly elliptic energy integrals with \(p, q\)-growth. Nonlinear Anal. 177, 312–324 (2018)
De Giorgi, E.: Un esempio di estremali discontinue per un problema variazionale di tipo ellittico, (Italian). Boll. Un. Mat. Ital. 1, 135–137 (1968)
De Filippis, C.: Higher integrability for constrained minimizers of integral functionals with \((p, q)\)-growth in low dimension. Nonlinear Anal. 170, 1–20 (2018)
De Filippis, C., Mingione, G.: On the regularity of minima of non-autonomous functionals. J. Geom. Anal. 30, 1584–1626 (2020)
De Silva, D., Savin, O.: Minimizers of convex functionals arising in random surfaces. Duke Math. J. 151, 487–532 (2010)
Eleuteri, M., Marcellini, P., Mascolo, E.: Lipschitz estimates for systems with ellipticity conditions at infinity. Ann. Mat. Pura Appl. 195, 1575–1603 (2016)
Eleuteri, M., Marcellini, P., Mascolo, E.: Lipschitz continuity for energy integrals with variable exponents. Atti. Accad. Naz. Lincei Rend. Lincei Mat. Appl. 27, 61–87 (2016)
Eleuteri, M., Marcellini, P., Mascolo, E.: Regularity for scalar integrals without structure conditions. Adv. Calc. Var. (2018) (in press).https://doi.org/10.1515/acv-2017-0037
Esposito, L., Leonetti, F., Mingione, G.: Sharp regularity for functionals with \((p, q)\) growth. J. Differ. Equ. 204, 5–55 (2004)
Giusti, E., Miranda, M.: Un esempio di soluzioni discontinue per un problema di minimo relativo ad un integrale regolare del calcolo delle variazioni (Italian). Boll Un. Mat. Ital. 1, 219–226 (1968)
Harjulehto, P., Hästö, P., Toivanen, O.: Hölder regularity of quasiminimizers under generalized growth conditions. Calc. Var. Partial Differ. Equ. 56, 26 (2017)
Hästö, O, Ok, J.: Maximal regularity for local minimizers of non-autonomous functionals (2019). arXiv:1902.00261 [math.AP]
Marcellini, P.: Regularity and existence of solutions of elliptic equations with \(p, q\)-growth conditions. J. Differ. Equ. 90, 1–30 (1991)
Marcellini, P.: Everywhere regularity for a class of elliptic systems without growth conditions. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 23, 1–25 (1996)
Marcellini, P.: Regularity under general and \(p, q\)-growth conditions. Discrete Contin. Dyn. Syst. S Ser. 13, 2009–2031 (2020)
Marcellini, P.: A variational approach to parabolic equations under general and \(p, q\)-growth conditions. Nonlinear Anal. 194, (2020). https://doi.org/10.1016/j.na.2019.02.010
Marcellini, P.: Growth conditions and regularity for weak solutions to nonlinear elliptic pdes. J. Math. Anal. Appl. (2020) (to appear)
Marcellini, P., Papi, G.: Nonlinear elliptic systems with general growth. J. Differ. Equ. 221, 412–443 (2006)
Mascolo, E., Migliorini, A.: Everywhere regularity for vectorial functionals with general growth. ESAIM Control Optim. Calc. Var. 9, 399–418 (2003)
Mingione, G., Palatucci, G.: Developments and perspectives in nonlinear potential theory. Nonlinear Anal. 194, (2020). https://doi.org/10.1016/j.na.2019.02.006
Mooney, C., Savin, O.: Some singular minimizers in low dimensions in the calculus of variations. Arch. Ration. Mech. Anal. 221, 1–22 (2016)
Mooney, C.: Minimizers of convex functionals with small degeneracy set. Calc. Var. Partial Differ. Equ. 59, (2020). https://doi.org/10.1007/s00526-020-1723-9
Nečas, J.: Example of an irregular solution to a nonlinear elliptic system with analytic coefficients and conditions for regularity. Theory of nonlinear operators. In: Proceedings of Fourth International Summer School, Academic Science, Berlin 1975, pp. 197–206. Abh. Akad. Wiss. DDR Abt. Math.-Natur.-Tech., Jahrgang 1977, 1, Akademie, Berlin (1977)
Rǎdulescu, V., Zhang, Q.: Double phase anisotropic variational problems and combined effects of reaction and absorption terms. J. Math. Pures Appl. 118, 159–203 (2018)
Šverák, V., Yan, X.: A singular minimizer of a smooth strongly convex functional in three dimensions. Calc. Var. Partial Differ. Equ. 10, 213–221 (2000)
Uhlenbeck, K.: Regularity for a class of non-linear elliptic systems. Acta Math. 138, 219–240 (1977)