Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Một loạt sóng nước trọng lực - mao dẫn ba chiều điển hình theo định kỳ với các hình dạng ngang đa xung
Tóm tắt
Bài viết này trình bày một lý thuyết tồn tại chính xác cho sóng nước trọng lực - mao dẫn ba chiều, trong đó sóng di chuyển đồng nhất và có tính chu kỳ theo một hướng không gian x và có hình dạng của một sóng đơn hoặc đa xung trong hướng z. Các sóng này được phát hiện thông qua sự kết hợp của động lực học không gian Hamilton và lý thuyết Lyapunov-Schmidt đồng đẳng. Vấn đề thủy động học được thiết lập như một hệ thống Hamilton trong không gian vô hạn chiều, trong đó z là biến theo thời gian, và một họ các điểm P_{k,k+1}, k = 1, 2,… trong không gian tham số hai chiều của nó được xác định, tại đó một cộng hưởng Hamilton 0:2:2 diễn ra (không gian riêng là không gian ba chiều và không gian riêng tổng quát là không gian bốn chiều). Điểm P_{k,k+1} chính xác là nơi mà một đôi sóng đi theo chu kỳ hai chiều với tần số tỷ lệ k: k + 1 đồng thời tồn tại (“sóng Wilton”). Một nguyên lý giảm thiểu được áp dụng để chứng minh rằng vấn đề này cục bộ tương đương với một hệ thống Hamilton bốn chiều gần P_{k,k+1}. Đã chỉ ra rằng một cộng hưởng Hamilton thực bán phức 1:1, nơi mà hai trị riêng thực hình học gấp đôi tồn tại, xuất hiện dọc theo một đường cong quan trọng R_{k,k+1} xuất phát từ P_{k,k+1}. Các giải pháp đồng đẳng ngang unipulse cho hệ thống Hamilton giảm được tìm thấy ở các điểm của R_{k,k+1} gần P_{k,k+1} thông qua một lập luận tỷ lệ và nhiễu loạn, và phương pháp Lyapunov-Schmidt đồng đẳng được áp dụng để xây dựng một họ vô hạn các giải pháp homoclinic đa xung giống như nhiều bản sao của các giải pháp unipulse.
Từ khóa
#sóng nước #trọng lực #mao dẫn #sóng đồng thời #lý thuyết Hamilton #lý thuyết Lyapunov-SchmidtTài liệu tham khảo
Afendikov, A., and Mielke, A. 1999. Bifurcation of homoclinic orbits to a saddle-focus in reversible systems with SO(2)-symmetry.J. Diff. Eq. 159, 370–402.
Berti, M., and Bolle, P. 1998. Variational construction of homoclinics and chaos in presence of a saddle-saddle equilibrium.Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 27, 331–377.
Buffoni, B., and Bolle, P. 2000. Multiplicity of algebraically decaying solitary waves. InIn- ternational Conference on Differential Equations (eds. Fiedler, B., Gröger, K., and Sprekels, J.), pages 1339–1344. River Edge, NJ: World Scientific.
Buffoni, B., and Groves, M. D. 1999. A multiplicity result for solitary gravity-capillary waves in deep water via critical-point theory.Arch. Ratl. Mech. Anal. 146, 183–220.
Buffoni, B., Groves, M. D., and Toland, J. F. 1996. A plethora of solitary gravity-capillary water waves with nearly critical Bond and Froude numbers.Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. A 354, 575–607.
Buffoni, B., and Séré, E. 1996. A global condition for quasi-random behaviour in a class of conservative systems.Commun. Pure Appl. Math. 49, 285–305.
Champneys, A., and Härterich, J. 2002. Cascades of homoclinic orbits to a saddle-centre for reversible and perturbed Hamiltonian systems.Dynam. Stab. Syst. 15, 231–252.
Champneys, A. R. 1994. Subsidiary homoclinic orbits to a saddle-focus for reversible sys- tems.Int. J. Bifurcation Chaos 4, 1447–1482.
Cotter, C. 1986. The 1∶1 semisimple resonance. Doctoral thesis, University of California at Santa Cruz.
Craig, W., and Nicholls, D. P. 2000. Traveling two- and three-dimensional capillary gravity water waves.SIAM J. Math. Anal. 32, 323–359.
Devaney, R. L. 1976. Homoclinic orbits in Hamiltonian systems.J. Diff. Eq. 21, 431–138.
Groves, M. D. 2001. An existence theory for three-dimensional periodic travelling gravity- capillary water waves with bounded transverse profiles.Physica D 152-153, 395–415.
Groves, M. D., and Haragus, M. 2003. A bifurcation theory for three-dimensional oblique travelling gravity-capillary water waves.J. Nonlinear Sci. 13, 397–447.
Groves, M. D., Haragus, M., and Sun, S.-M. 2002. A dimension-breaking phenomenon in the theory of gravity-capillary water waves.Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. A 360, 2189–2243.
Groves, M. D., and Mielke, A. 2001. A spatial dynamics approach to three-dimensional gravity-capillary steady water waves.Proc. Roy. Soc. Edin. A 131, 83–136.
Groves, M. D., and Schneider, G. 2001. Modulating pulse solutions for a class of nonlinear wave equations.Commun. Math. Phys. 219, 489–522.
Haragus-Courcelle, M., and Ilichev, A. 1998. Three-dimensional solitary waves in the pres- ence of additional surface effects.Eur. J. Mech. B. Fluids 17, 739–768.
Haragus-Courcelle, M., and Pego, R. L. 2000. Spatial wave dynamics of steady oblique wave interactions.Physica D 145, 207–232.
Haragus-Courcelle, M., and Schneider, G. 1999. Bifurcating fronts for the Taylor-Couette problem in infinite cylinders.Z. Angew. Math. Phys. 50, 120–151.
Holmes, P. J. 1980. Periodic, nonperiodic and irregular motions in a Hamiltonian system.Rocky Mountain J. Math. 10, 382–404.
Iooss, G., and Kirchgässner, K. 1990. Bifurcation d’ondes solitaires en présence d’une faible tension superficielle.C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. 1 311, 265–268.
Iooss, G., and Kirchgässner, K. 1992. Water waves for small surface tension: An approach via normal form.Proc. Roy. Soc. Edin. A 122, 267–299.
Jones, M. C. W. 1989. Small amplitude gravity-capillary waves in a channel of finite depth.Glasgow Math. J. 31, 141–160.
Kapitula, T., and Maier-Paape, S. 1996. Spatial dynamics of time periodic solutions for the Ginzburg-Landau equation.Z. Angew. Math. Phys. 47, 265–305.
Kato, T. 1976.Perturbation Theory for Linear Operators, 2nd ed. New York: Springer-Verlag.
Kirchgässner, K. 1982. Wave solutions of reversible systems and applications.J. Diff. Eq. 45, 113–127.
Kirchgässner, K. 1988. Nonlinear resonant surface waves and homoclinic bifurcation.Adv. Appl. Math. 26, 135–181.
Lin, X. B. 1990. Using Melnikov’s method to solve Shilnikov’s problems.Proc. Roy. Soc. Edin. A 116, 295–325.
Mielke, A. 1988. Reduction of quasilinear elliptic equations in cylindrical domains with applications.Math. Meth. Appl. Sci. 10, 51–66.
Mielke, A. 1991.Hamiltonian and Lag rang ian Flows on Center Manifolds. Berlin: Springer- Verlag.
Mielke, A., Holmes, P. J., and O’Reilly, O.1992. Cascades of homoclinic orbits to, and chaos near, a Hamiltonian saddle-center.J. Dyn. Diff. Eq. 4, 95–126.
Sandstede, B. 1993. Verzweigungstheorie homokliner Verdopplungen. Doctoral thesis, Uni- versität Stuttgart.
Sandstede, B., Jones, C. K. R. T., and Alexander, J. C. 1997. Existence and stability of N-pulses on optical fibers with phase-sensitive amplifiers.Physica D 106, 167–206.
Sandstede, B., and Scheel, A. 1999. Essential instability of pulses and bifurcations to mod- ulated travelling waves.Proc. Roy. Soc. Edin. A 129, 1263–1290.
Sandstede, B., and Scheel, A. 2004. Defects in oscillatory media: Toward a classification.S1AM J. Appl. Dynam. Syst. 3, 1–68.
Stoker, J. J. 1957.Water Waves: The Mathematical Theory with Applications. New York: Interscience.
Vanderbauwhede, A. 1989. Centre manifolds, normal forms and elementary bifurcations.Dynamics Reported 2, 89–169.
Vanderbauwhede, A., and Iooss, G. 1992. Centre manifold theory in infinite dimensions.Dynamics Reported 1, 125–163.
Yew, A. C. 2001. Multipulses of nonlinearly coupled Schrödinger equations.J. Diff. Eq. 173, 92–137.
Yew, A. C., Sandstede, B., and Jones, C. K. R. T. 2000. Instability of multiple pulses in nonlinear Schrödinger equations.Phys. Rev. E 61, 5886–5892.