Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Kết quả biến đổi cho các phương trình vi phân ngẫu nhiên bán tuyến tính trong không gian Banach UMD
Tóm tắt
Chúng tôi xem xét ảnh hưởng của sự biến đổi của A đối với nghiệm của phương trình vi phân nghẫu nhiên bán tuyến tính dưới đây:
$$\left\{\begin{array}{ll}{\rm d}U(t) & = AU(t)\,{\rm d}t + F(t,U(t))\,{\rm d}t + G(t,U(t))\,{\rm d}W_H(t), \quad t > 0;\\U(0)& = x_0. \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad({\rm SDE})\end{array} \right.$$
Ở đây, A là toán tử sinh của một họ bán nhóm phân tích C
0 trên một không gian Banach UMD X, H là một không gian Hilbert, W
H
là chuyển động Brownian hình trụ H,
$${G:[0,T]\times X\rightarrow \mathcal{L}(H, X_{\theta_G}^{A})}$$
, và
$${F : [0, T]\times X \rightarrow X_{\theta_F}^{A}}$$
cho một số
$${\theta_G > -\frac{1}{2}, \theta_F > -\frac{3}{2}+\frac{1}{\tau}}$$
, trong đó
$${\tau\in [1, 2]}$$
thể hiện loại của không gian Banach và
$${X_{\theta_F}^{A}}$$
thể hiện không gian miền phân đoạn hoặc không gian ngoại suy tương ứng với A. Chúng tôi giả định rằng F và G thỏa mãn một số điều kiện Lipschitz toàn cục và điều kiện tăng trưởng tuyến tính. Gọi A
0 là toán tử biến đổi và U
0 là nghiệm của (SDE) với A được thay thế bởi A
0. Chúng tôi cung cấp các ước lượng cho
$${\|U - U_0\|_{L^p(\Omega;C([0,T];X))}}$$
theo
$${D_{\delta}(A, A_0) := \|R(\lambda : A) - R(\lambda : A_0)\|_{\mathcal{L}(X^{A}_{\delta-1},X)}}$$
. Ở đây,
$${\delta\in [0, 1]}$$
được giả định thỏa mãn
$${0\leq \delta < {\rm min}\{\frac{3}{2} - \frac{1}{\tau} + \theta_F,\, \frac{1}{2} - \frac{1}{p} + \theta_G \}}$$
. Công trình này được khơi nguồn từ mong muốn chứng minh sự hội tụ của các xấp xỉ không gian của (SDE). Trong bài viết này, chúng tôi chứng minh tỷ lệ hội tụ cho trường hợp A được xấp xỉ bởi xấp xỉ Yosida của nó.
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Brzeźniak Z.: On stochastic convolution in Banach spaces and applications. Stochastics Stochastics Rep. 61(3-4), 245–295 (1997)
D.L. Burkholder. Martingales and singular integrals in Banach spaces. In “Handbook of the Geometry of Banach Spaces”, Vol. I, pages 233–269. North-Holland, Amsterdam, 2001.
S.G. Cox. Stochastic Differential Equations in Banach Spaces: Decoupling, Delay equations, and Approximations in Space and Time, 2012. PhD thesis, available online at http://repository.tudelft.nl.
Cox S.G., Hausenblas E.: Pathwise space approximations of semi-linear parabolic SPDEs with multiplicative noise. Int. J. Comput. Math. 89, 2460–2478 (2012)
Cox S.G., van Neerven J.M.A.M.: Pathwise Hölder convergence of the implicit-linear Euler scheme for semi-linear SPDEs with multiplicative noise. Numer. Math. 125(2), 259–345 (2013)
Da Prato G., Kwapień S., Zabczyk J.: Regularity of solutions of linear stochastic equations in Hilbert spaces. Stochastics 23(1), 1–23 (1987)
G. Da Prato and J. Zabczyk. “Stochastic Equations in Infinite Dimensions”, volume 44 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
Desch W., Schappacher W.: A note on the comparison of C 0-semigroups. Semigroup Forum 35(2), 237–243 (1987)
K.-J. Engel and R. Nagel. One-parameter semigroups for linear evolution equations, volume 194 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2000.
M.H.A. Haase. “The Functional Calculus for Sectorial Operators”, volume 169 of Operator Theory: Advances and Applications. Birkhäuser Verlag, Basel, 2006.
Jung M.: On the relationship between perturbed semigroups and their generators. Semigroup Forum 61(2), 283–297 (2000)
N.J. Kalton and L. Weis. The H ∞-calculus and square function estimates. In preparation.
Kloeden P.E., Neuenkirch A.: The pathwise convergence of approximation schemes for stochastic differential equations. LMS Journal of Comp. and Math. 10, 235–253 (2007)
M.C. Kunze and J.M.A.M. van Neerven. Approximating the coefficients in semilinear stochastic partial differential equations. J. Evol. Equ., 2011.
M. Ledoux and M. Talagrand. Probability in Banach spaces, volume 23 of Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). Springer-Verlag, Berlin, 1991.
J.M.A.M. van Neerven. γ-Radonifying operators – a survey. Proceedings of the CMA 44, pages 1–62, 2010.
J.M.A.M. van Neerven and M.C. Veraar. On the stochastic Fubini theorem in infinite dimensions. In Stochastic partial differential equations and applications—VII, volume 245 of Lect. Notes Pure Appl. Math., pages 323–336. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2006.
van Neerven J.M.A.M., Veraar M.C., Weis L.: Stochastic integration in UMD Banach spaces. Annals Probab. 35, 1438–1478 (2007)
van Neerven J.M.A.M., Veraar M.C., Weis L.: Stochastic evolution equations in UMD Banach spaces. J. Funct. Anal. 255(4), 940–993 (2008)
A. Pazy. “Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations”, volume 44 of Applied Mathematical Sciences. Springer-Verlag, New York, 1983.
D. Revuz and M. Yor. “Continuous Martingales and Brownian Motion”, volume 293 of Grundlehren der Math. Wissenschaften. Springer-Verlag, Berlin, 3rd edition, 1999.
Robinson D.W.: The approximation of flows. J. Functional Analysis 24(3), 280–290 (1977)
Schnaubelt R., Veraar M.: Structurally damped plate and wave equations with random point force in arbitrary space dimensions. Differential Integral Equations 23(9-10), 957–988 (2010)
Weis L.: Operator-valued Fourier multiplier theorems and maximal L p -regularity. Math. Ann. 319(4), 735–758 (2001)