Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Một bất bình đẳng mới cho các tích phân Riemann-Stieltjes bị chi phối bởi các tín hiệu không đều trong các không gian Banach
Tóm tắt
Chúng tôi chứng minh một bất bình đẳng loại Loéve-Young cho các tích phân Riemann-Stieltjes bị chi phối bởi các tín hiệu không đều đạt giá trị trong các không gian Banach, và, do đó, chúng tôi suy ra một định lý mới về sự tồn tại của các tích phân Riemann-Stieltjes bị chi phối bởi những tín hiệu như vậy. Ngoài ra, đối với bất kỳ
$p\ge1$
, chúng tôi giới thiệu không gian của các tín hiệu đã được điều chỉnh
$f:[a,b]\rightarrow W$
(
$a< b$
là các số thực, và W là một không gian Banach) mà có thể được xấp xỉ đồng đều với độ chính xác
$\delta>0$
bởi các tín hiệu có độ biến thiên tổng là bậc
$\delta^{1-p}$
khi
$\delta\rightarrow0+$
và chứng minh rằng chúng thỏa mãn các giả định của định lý. Cuối cùng, chúng tôi suy ra các đặc trưng chính xác hơn, không phụ thuộc vào tỷ lệ của sự không đều của các tích phân bị chi phối bởi những tín hiệu như vậy.
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Łochowski, RM, Ghomrasni, R: The play operator, the truncated variation and the generalisation of the Jordan decomposition. Math. Methods Appl. Sci. 38(3), 403-419 (2015)
Łochowski, RM: A new theorem on the existence of the Riemann-Stieltjes integral and an improved version of the Loéve-Young inequality. J. Inequal. Appl. 2015, Article ID 378 (2015)
Young, LC: An inequality of the Hölder type, connected with Stieltjes integration. Acta Math. 67(1), 251-282 (1936)
Young, LC: General inequalities for Stieltjes integrals and the convergence of Fourier series. Math. Ann. 115, 581-612 (1938)
D’yačkov, AM: Conditions for the existence of Stieltjes integral of functions of bounded generalized variation. Anal. Math. (Budapest) 14, 295-313 (1988)
Dudley, RM, Norvaiša, R: Concrete Functional Calculus. Springer Monographs in Mathematics. Springer, New York (2010)
Zähle, M: Integration with respect to fractal functions and stochastic calculus I. Probab. Theory Relat. Fields 111, 333-374 (1998)
Lyons, T, Qian, Zh: System Control and Rough Paths. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press, Oxford (2002)
Davie, AM: Differential equations driven by rough paths: an approach via discrete approximation. Appl. Math. Res. Express 2007, Article ID abm009 (2007)
Ruzmaikina, AA: Stieltjes integrals of Hölder continuous functions with applications to fractional Brownian motion. J. Stat. Phys. 100(5-6), 1049-1069 (2007)
Mishura, Yu: Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Related Processes. Lecture Notes in Mathematics, vol. 1929. Springer, Berlin (2008)
Lyons, TJ, Caruana, MJ, Lévy, T: Differential Equations Driven by Rough Paths. Lecture Notes in Mathematics, vol. 1902. Springer, Berlin (2007)
Friz, PK, Victoir, NB: Multidimensional Stochastic Processes as Rough Paths: Theory and Applications. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 120. Cambridge University Press, Cambridge (2010)
Feyel, D, de la Pradelle, A: Curvilinear integrals along enriched paths. Electron. J. Probab. 11(34), 860-892 (2006)
Lyons, T: Differential equations driven by rough signals (I): an extension of an inequality of L. C. Young. Math. Res. Lett. 1, 451-464 (1994)
Blumenthal, RM, Getoor, RK: Some theorems on stable processes. Trans. Am. Math. Soc. 95, 263-273 (1960)
Dieudonné, J: Foundations of Modern Analysis, 3rd (enlarged and corrected) printing. Pure and Applied Mathematics, vol. 10. Academic Press, New York (1969)
Łochowski, RM, Miłoś, P: Limit theorems for the truncated variation and for numbers of interval crossings of Lévy and self-similar processes. Preprint (2014). http://akson.sgh.waw.pl/~rlocho/level_cross_Levy.pdf
Tronel, G, Vladimirov, AA: On BV-type hysteresis operators. Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. 39(1), 79-98 (2000)
Vovk, V: Rough paths in idealized financial markets. Lith. Math. J. 51, 274-285 (2011)