Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Một họ các đường cong elliptic có bậc $$\ge 5$$
Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tôi xây dựng một họ các đường cong elliptic có bậc $$\ge 5$$. Để thực hiện điều này, chúng tôi sử dụng công thức Heron cho một bộ ba $$(A^2, B^2, C^2)$$ không nhất thiết phải là ba cạnh của một tam giác. Hóa ra rằng, với tư cách là các tham số của một họ đường cong elliptic, ba số nguyên dương A, B và C, cùng với tham số bổ sung D, thỏa mãn phương trình Diophantine bậc bốn $$A^4+D^4=2(B^4+D^4)$$.
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
A. Bremner, J.W.S. Cassels, On the equation \(Y^2=X(X^2+p)\). Math. Comput. 42, 257–264 (1984)
J. Cremona, MWRANK program. http://homepages.warwick.ac.uk/staff/J.E.Cremona/mwrank/
A. Dujella, A.S. Janfada, S. Salami, Search for high rank congruent number elliptic curves. J. Integer Seq. 12(3), 3 (2009)
A. Dujella, On the mordell-weil group of elliptic curves induced by diophantine triples. Glas Math. Ser. III 42, 3–18 (2007)
A. Dujella, High rank elliptic curves with prescribed torsion. http://www.maths.hr/~duje/tors.html (2012)
N.D. Elkies, On \(A^4+B^4+C^4=D^4\). Math. Comput. 51(184), 825–835 (1988)
F.A. Izadi, F. Khoshnam, K. Nabardi, Sums of two biquadrates and elliptic curves of rank \(\ge 4\). Math. J. Okayama Univ. 56, 51–63 (2014)
F. Izadi, K. Nabadri, Diophantine equation \(X^4+Y^4=2(U^4+V^4)\), Math. Slovaca (2015)
F. Izadi, K. Nabardi, A note on diophantine equation \(A^4+D^4=2(B^4+C^4)\)
J.A. Johnstone, Master Thesis at The University of British Columbia, (2010). https://circle.ubc.ca/handle/2429/26993
T. Kudo, K. Motose, On group structure of some special elliptic curve. Math. J. Okayama Univ. 47, 81–84 (2005)
R. Van Luijk, Density of rational poins on elliptic surfaces. Acta Arith. 156(2), 189–199 (2012)
M. Maenishi, On the rank of elliptic curves \(y^2=x^3-pqx\). Kumamoto J. Math. 15, 1–5 (2002)
M. Ram Murty, J. Esmonde, Problems in Algebraic Number Thoery (Springer, New York, 2005)
K. Nagao, An example of elliptic curve over \(\mathbb{Q}\) with rank \(\ge 20\). Proc. Jpn. Acad. Ser. A Math. Sci. 69, 291–293 (1993)
K. Nagao, An example of elliptic curve over \(\mathbb{Q}\) with rank \(\ge 21\). Proc. Jpn. Acad. Ser. A Math. Sci. 70, 104–105 (1994)
N. Rogers, Rank computations for the congruent number elliptic curves. Exp. Math. 9, 591–594 (2000)
N. Rogers, Elliptic curves \(x^3+y^3=k\) with high rank, PhD Thesis in Mathematics, Harvard University (2004)
K. Rubin, A. Silverberg, Ranks of elliptic curves in the families of quadratic twists. Exp. Math. 9, 583–590 (2000)
SAGE software, Version 4.3.5, http://sagemath.org
J.H. Silverman, J. Tate, Rational Points on Elliptic Curves (Springer, New York, 1992)
J.H. Silverman, The Arithmatic of Elliptic Curves (Springer, New York, 2009)
L.C. Washington, Elliptic Curves: number Theory and Cryptography (Chapman-Hall, New York, 2008)
S. Yoshida, On the equation \(y^2=x^3+pqx\). Comment. Math. Univ. St. Paul 49, 23–42 (2000)