Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Thuật toán loại đơn giản kép cho viên cầu nhỏ nhất bao quanh các viên cầu
Tóm tắt
Chúng tôi phát triển một thuật toán loại đơn giản kép để tính toán viên cầu nhỏ nhất bao quanh một tập hợp các viên cầu và các vấn đề liên quan chặt chẽ khác. Thuật toán của chúng tôi sử dụng một sơ đồ xoay vòng tương tự như phương pháp đơn giản cho lập trình tuyến tính, trong đó một chuỗi tìm kiếm đường cong chính xác được thực hiện cho đến khi tìm thấy một giải pháp khả thi mới trong bài toán đối ngẫu với giá trị hàm mục tiêu nhỏ hơn rõ rệt. Chúng tôi áp dụng phân tích Cholesky và các quy trình để cập nhật nó, mang đến một cách triển khai thuật toán ổn định về mặt số học. Chúng tôi chỉ ra rằng thuật toán của chúng tôi có thể giải quyết hiệu quả các trường hợp có độ dimenison 5000 với 100000 điểm, thường trong vài phút.
Từ khóa
#thuật toán đơn giản kép #viên cầu nhỏ nhất #lập trình tuyến tính #phân tích Cholesky #giải thuật tối ưuTài liệu tham khảo
Agarwal, P.K., Har-Peled, S., Varadarajan, K.R.: Geometric approximation via coresets, in Combinatorial and Computational Geometry, pp. 1–30. University Press, MSRI (2005)
Alizadeh, F., Goldfarb, D.: Second-order cone programming. Math. Program. 95, 3–51 (2003)
Ben-Hur, A., Horn, D., Siegelmann, H.T., Vapnik, V.: Support vector clustering. J. Mach. Learn. Res. 2, 125–137 (2002)
Bădoiu, M., Clarkson, K.L.: Optimal core-sets for balls. Comput. Geometry 40, 14–22 (2008)
Bădoiu, M., Har-Peled, S., Indyk, P.: Approximate clustering via core-sets. In: Proc. 34th Annual ACM Symp. on Theory of Computing, STOC ’02, New York, NY, USA, ACM, pp. 250–257 (2002)
Bulatov, Y., Jambawalikar, S., Kumar, P., Sethia, S.: Hand recognition using geometric classifiers in authentication biometric, pp. 753–759. Springer, Heidelberg (2004)
Cavaleiro, M.: Simplex-Like Methods for Spherical Enclosure of Points and Spheres - Algorithms and Applications, Ph.D. Thesis, Rutgers University (2020)
Cavaleiro, M., Alizadeh, F.: A faster dual algorithm for the Euclidean minimum covering ball problem. Annal Op Res 5, 1056 (2018)
Chapelle, O., Vapnik, V., Bousquet, O., Mukherjee, S.: Choosing multiple parameters for support vector machines. Mach Learn 46, 131–159 (2002)
Dearing, P.M., Zeck, C.R.: A dual algorithm for the minimum covering ball problem in \(\mathbb{R}^n\). Op Res Lett 37, 171–175 (2009)
Dyer, M.: A class of convex programs with applications to computational geometry. In: Proc. of the 8th Annual Symp. on Computational Geometry, SCG ’92, New York, NY, USA, ACM, pp. 9–15 (1992)
Dyer, M., Gärtner, B., Megiddo, N., Welzl, E.: Linear programming. Chapman and Hall/CRC, Boca Raton (2017)
Dyer, M., Megiddo, N., Welzl, E.: Linear programming. Chapman and Hall/CRC, Boca Raton (2004)
Fischer, K., Gärtner, B.: The smallest enclosing ball of balls: combinatorial structure and algorithms. Int. J. Comput. Geometry Appl. 14, 341–387 (2004)
Fischer, K., Gärtner, B., Kutz, M.: Fast smallest-enclosing-ball computation in high dimensions, in Algorithms - ESA. Lecture Notes in Computer Science, vol. 2832. Springer 2003, 630–641 (2003)
Gill, P.E., Golub, G.H., Murray, W., Saunders, M.A.: Methods for modifying matrix factorizations. Math. Comput. 28, 505–535 (1974)
Goldfarb, D.: Factorized variable metric methods for unconstrained optimization. Math. Comput. 30, 796–811 (1976)
Goldfarb, D., Idnani, A.: A numerically stable dual method for solving strictly convex quadratic programs. Math. Program. 27, 1–33 (1983)
Golub, G.H., Van Loan, C.: Matrix computations, 3rd edn. Johns Hopkins University Press, Baltimore (1996)
Hale, T.S., Moberg, C.R.: Location science research: a review. Annal. Op. Res. 123, 21–35 (2003)
Hubbard, P.M.: Approximating polyhedra with spheres for time-critical collision detection. ACM Trans. Gr. 15, 179–210 (1996)
Källberg, L., Larsson, T.: Faster approximation of minimum enclosing balls by distance filtering and GPU parallelization. J. Gr. Tools 17, 67–84 (2013)
Kumar, P., Mitchell, J.S.B., Yildirim, E.A.: Approximate minimum enclosing balls in high dimensions using core-sets. ACM J. Exp. Algorithm. 8, 689 (2003)
Larsson, T., Capannini, G., Källberg, L.: Parallel computation of optimal enclosing balls by iterative orthant scan. Computers & Gr 56, 1–10 (2016)
Larsson, T., Källberg, L.: Fast and robust approximation of smallest enclosing balls in arbitrary dimensions. In: Proc. 11th Eurographics/ACMSIGGRAPH Symp. on Geometry Processing, SGP ’13, Aire-la-Ville, Switzerland, Eurographics Association, pp. 93–101 (2013)
Megiddo, N.: On the ball spanned by balls, discrete. Comput. Geom. 4, 605–610 (1989)
Moradi, E., Bidkhori, M.: Single facility location problem. In: Location, Facility (ed.) Concepts, pp. 37–68. Physica-Verlag HD, Models, Algorithms and Case Studies, Heidelberg (2009)
Mordukhovich, B., Nam, N.M., Villalobos, C.: The smallest enclosing ball problem and the smallest intersecting ball problem: existence and uniqueness of solutions. Optim. Lett. 7, 839–853 (2013)
MOSEK ApS: The MOSEK optimization toolbox for MATLAB manual. Version 8.1 (2017)
Nam, N.M., Hoang, N., An, N.T.: Constructions of solutions to generalized Sylvester and Fermat-Torricelli problems for Euclidean balls. J. Optim. Theor. Appl. 160, 483–509 (2014)
Nam, N.M., Nguyen, T.A., Salinas, J.: Applications of convex analysis to the smallest intersecting ball problem. J. Convex Anal. 19, 497–518 (2012)
Nielsen, F., Nock, R.: Approximating smallest enclosing balls with applications to machine learning. Int. J. Comput. Geom. Appl. 19, 389–414 (2009)
Panigrahy, R.: Minimum enclosing polytope in high dimensions, CoRR, cs.CG/0407020 (2004)
Plastria, F.: Continuous covering location problems. In: Location, Facility (ed.) Applications and Theory, pp. 37–79. Springer, Berlin (2002)
Sharir, M., Welzl, E.: A combinatorial bound for linear programming and related problems. In: STACS 92, Berlin, Heidelberg, pp. 567–579. Springer (1992)
Toh, K.C., Todd, M.: SDPT3 - a MATLAB software package for semidefinite programming. Optim. Methods Softw. 11, 545–581 (1999)
Tsang, I.W., Kwok, J.T., Cheung, P.-M.: Core vector machines: fast SVM training on very large data sets. J. Mach. Learn. Res. 6, 363–392 (2005)
Yildirim, E.A.: Two algorithms for the minimum enclosing ball problem. SIAM J. Optim. 19, 1368–1391 (2008)
Zhou, G., Tohemail, K.-C., Sun, J.: Efficient algorithms for the smallest enclosing ball problem. Comput. Optim. Appl. 30, 147–160 (2005)
