Một phương pháp định lượng đối với các phương trình Hamilton-Jacobi với Hamiltonian có thể đo được theo thời gian

Vào năm 1985, H. Ishii [Is85] đã đề xuất một sự tổng quát của khái niệm (liên tục) nghiệm độ nhớt cho một phương trình Hamilton-Jacobi với một Hamiltonian có thể đo theo thời gian—tức là, một Hamiltonian mà có thể đo được theo thời gian và liên tục với các biến khác. Khái niệm này hóa ra phù hợp với những ứng dụng tự nhiên, như lý thuyết Điều khiển và Trò chơi Vi phân. Từ đó đến nay, đã có một số cải tiến đạt được cho tình huống chuẩn khi Hamiltonian là liên tục. Nó phần nào trở thành một ý tưởng tổng quát được chấp nhận rằng những cải tiến song song cũng có khả năng được thực hiện đối với các Hamiltonian có thể đo theo thời gian, mặc dù công việc này có thể tốn thời gian một chút do những chi tiết kỹ thuật liên quan. Trong bài báo này, chúng tôi cho thấy định nghĩa nghiệm độ nhớt của Ishii trùng với định nghĩa mà sẽ xuất hiện nếu mở rộng bằng mật độ định nghĩa chuẩn. Cụ thể, chúng tôi coi một Hamiltonian có thể đo theo thời gian H như một phần tử của tập đóng (đối với các topologies phù hợp) của một lớp Hamiltonian liên tục. Mặt khác, chúng tôi chỉ ra rằng tập hợp các nghiệm (thấp, cao) của Ishii đối với H chỉ là tập giới hạn của các nghiệm (thấp, cao) tương ứng với các Hamiltonian liên tục tiến đến H. Điều này đặt chúng tôi trong điều kiện thiết lập các kết quả so sánh, tồn tại và tính đều bằng cách suy diễn chúng từ các kết quả tương tự cho trường hợp Hamiltonian liên tục.