Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Mô Hình Cứng Trên Cây Cayley: Một Ví Dụ Về Mạng Mất Mát
Tóm tắt
Bài báo này nghiên cứu một mô hình cứng lân cận, với độ nén λ>0, trên một cây Cayley đồng nhất bậc k (với k+1 hàng xóm). Mô hình này xuất hiện như một ví dụ đơn giản về một mạng mất mát với sự loại trừ lân cận. Chúng tôi tập trung vào các thước đo Gibbs cho mô hình cứng, đặc biệt là các thước đo Gibbs 'phân chia' sinh ra một chuỗi Markov dọc theo mỗi đường đi trên cây. Trong mô hình này, ∀λ>0 và k≥1, tồn tại một thước đo Gibbs phân chia biến đổi dịch tịnh không đổi độc nhất μ*. Định nghĩa λc=1/(k−1)×(k/(k−1))^k. Sau đó: (i) đối với λ≤λc, thước đo Gibbs là duy nhất (và trùng với thước đo trên μ*), (ii) đối với λ>λc, ngoài μ*, tồn tại hai thước đo chu kỳ dịch tịnh khác nhau, μ+ và μ−, được đưa cho nhau bởi sự dịch không gian đơn vị. Các thước đo μ+ và μ− là cực trị ∀λ>λc. Chúng tôi cũng xây dựng một liên tục các thước đo Gibbs phân chia cực trị và không biến đổi dịch tịnh khác nhau. Đối với λ > 1/(√ k - 1) × (√ k /√ k - 1))^k, thước đo μ* không phải là cực trị (kết quả này có thể được cải thiện). Cuối cùng, chúng tôi xem xét một mô hình với hai độ nén, λe và λo, cho các vị trí chẵn và lẻ. Chúng tôi thảo luận về các vấn đề còn bỏ ngỏ và tuyên bố một số giả thuyết liên quan.
Từ khóa
#mô hình cứng #cây Cayley #thước đo Gibbs #mạng mất mát #chuỗi MarkovTài liệu tham khảo
P.M. Bleher and N.N. Ganikhodjaev, On pure phases of the Ising model on the Bethe lattice, Theory Probab. Appl. 35 (1990) 216–227.
P.M. Bleher, J. Ruiz and V.A. Zagrebnov, On the purity of the limiting Gibbs state for the Ising model on the Bethe lattice, J. Statist. Phys. 79 (1995) 473–482.
G.R. Brightwell, O. Häggström and P. Winkler, Nonmonotonic behavior in hard-core and Widom-Rowlinson models, J. Statist. Phys. 94(3/4) (1999) 415–435.
G.R. Brigtwell and P Winkler, A second threshold for the hard-core model on a Bethe lattice, Random Struct. Algorithms (2003) to appear.
R.L. Dobrushin, Markov processes with many locally interacting components — the reversible case and some generalisations, Problems Inform. Transmission 7 (1971) 235–241.
N.N. Ganikhodjaev and U.A. Rozikov, Describtion of periodic extreme Gibbs measures of some lattice models on the Cayley tree, Theoret. Math. Phys. 111 (1997) 480–486.
H.O. Georgii, Gibbs Measures and Phase Transitions (Walter de Gruyter, Berlin, 1988).
F.P. Kelly, Stochastic models of computer communication systems. With discussion, J. Roy. Statist. Soc. Ser. B 47 (1985) 379–395, 415–428.
T. Kohonen, Self-Organisation and Associative Memory (Springer, Berlin, 1984).
G.M. Louth, Stochastic networks: Complexity, dependence and routing, Ph.D. thesis, Statistical Laboratory, DPMMS, University of Cambridge (1991).
J. Martin, Reconstruction thresholds for branching random walks, Discrete Math. Theoret. Comput. Sci. (2003) to appear.
E. Mossel, Reconstruction on trees: Beating the second eigenvalue, Ann. Appl. Probab. 11(1) (2001) 285–300.
E. Mossel, Survey: Information flows on trees, Preprint, Microsoft Research (2001).
E. Mossel and Y. Peres, Information flow on trees, Preprint, Microsoft Resrearch (2001).
C. Preston, Gibbs States on Countable Sets (Cambridge Univ. Press, London, 1974).
K. Ramanan, A. Sengupta, I. Ziedins and P. Mitra, Markov random field models of multicasting in tree networks, Adv. in Appl. Probab. 34 (2002) 58–84.
U.A. Rozikov, Description of limiting Gibbs measures for λ-models on the Bethe lattice, Siberian Math. J. 39 (1998) 427–435.
U.A. Rozikov, Description uncountable number of Gibbs measures for inhomogeneous Ising model, Theoret. Math. Phys. 118 (1999) 95–104.
F. Spitzer, Markov random fields on an infinite tree, Ann. Probab. 3 (1975) 387–398.
S. Zachary, Countable state space Markov random fields and Markov chains on trees, Ann. Probab. 11 (1983) 894–903.
S. Zachary, Bounded, attractive and repulsive Markov specifications on trees and on the one-dimensional lattice, Stochastic Process. Appl. 20 (1985) 247–256.