Su una generazione dei complessi quadratici di rette del battaglini

F. AscHiERi,Sopra un complesso di secondo grado [Giornale di Matematiche, vol. VIII (1870), pag-35–37]. F. Schur,Ueber einen das System zweitr Flãchen 2. Grades betreffenden Saiz und einen damit verbundenen Strahlencomplex 2. Grades [Mathematische Annalen Bd. XXI (1883), pag. 515–527]. Cfr. anche la trattazione diR. Sturm,Die Gebilde ersten und zweiten Grades der Liniengeometrie in synthetischer Behandlung, III. Theil (Leipzig, Teubner, 1896), pag. 328 e seguenti. Schur dimostra [loc. cit. 2), pag. 525] che se un complesso quadratico contiene ambe le schiere di generatrici di una quadrica non degenere, il complesso sarà diBattaglimi, e la quadrica farà parte del sistema S. Vedi ancheSturm, loc. cit 2), pag. 351. C. Segre,Su una trasformazione irrazionale dello spazio e sua applicazione allo studio del complesso quadratico di Battaglini e di un complesso lineare di coniche iscritte in un tetraedro [Giornale di Matematiche, vol. XXI (1883), pag. 355–378]. Dovendo parlare spesso disistema di generatrici di una quadrica, ossiaschiera rigata, é opportuno avere un vocabolo unico da sostituire a quelle locuzioni. Mi permetto ďintrodurre a questo scopo la parolaregolo, che già gľInglesi hanno adottato(regulus) nello stesso senso : veggasi, ad esempio,C M. Jessop,A Treatise on the Line Complex (Cambridge, University Press, 1903), pag. 39 e oltre. Per brevità, nel seguito diremo questa lagenerazione del complessoper incidenza su due regoli; mentre la generazione diAschieri si diràgenerazione armonica. Lo stesso si ottiene considerando la congruenza lineare speciale (n° 2) avente per direttricep e contenentem n r s: il 2° caso corrisponde allo spezzarsi di questa congruenza. 8) Le (8) s’incontrano, per altra via, a pag. 523 lin. 10 della Nota diSchur. Secondo il n° 2 si dovrebbe qui dire α. e β; ma al n° 3 si é visto che questi regoli posson sostituirsi con α e β. La trattazione seguente si applica senz’altro al problema più generale: inS2q+1 ricercare il luogo Г dei punti di contatto di una dataV2 2q con rette appoggiate a due datiSq . Г risulta ľintersezione di quella forma quadrica con un’altra. Vedi la nota 11 . Ľanaloga condizione varrà pel problema generale di 52q+I accennato nella IO). Questa varietàT del fascio, data dalla (20), é il secondo elemento doppio delľinvoluzione interna al fascio, di cui s’é parlato dianzi.R eT segano ciascuna delle tre rette principali in due coppie di punti mutuamente armoniche. In particolare le intersezioni delle tre rette principali conR, congiunte fra loro, danno 8 piani diR, cui rispondono inS 3, come stelle e piani rigati, i vertici e le facce del tetraedro principale del complesso quadratico diBattaglini. Corrispondono alle tracce diR sulle tre rette principali. Queste provengono dalle tracce diT sulle rette principali. Si tien conto qui della fine della nota 12). Sicché nelle projettività restan solo più due costanti arbitrarie.