Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Khả Năng Kiểm Soát Gần Đúng, Kiểm Soát Chính Xác, và Các Giao Điểm Giá Trị Riêng Nón của Các Hệ Thống Cơ Học Lượng Tử
Tóm tắt
Chúng tôi nghiên cứu khả năng kiểm soát của một hệ thống lượng tử điều khiển đóng theo phương pháp điều khiển affine, bị chi phối bởi hai hoặc nhiều trường ngoại vi. Chúng tôi đưa ra một điều kiện đủ cho khả năng kiểm soát dựa trên sự tồn tại của các giao điểm nón giữa các giá trị riêng của Hamilton trong phụ thuộc vào các điều khiển được xem như là các tham số. Điều kiện phổ này ổn định về cấu trúc trong trường hợp có ba điều khiển hoặc trong trường hợp có hai điều khiển khi Hamilton là thực. Điều kiện phổ xuất hiện tự nhiên trong khuôn khổ kiểm soát adiabatic và mang lại khả năng kiểm soát gần đúng trong trường hợp vô hướng. Trong trường hợp hữu hướng, nó nghĩa là hệ thống này tạo ra phức Lie khi được nâng lên nhóm các biến đổi đơn vị, và đặc biệt là nó có thể được kiểm soát chính xác. Do đó, các điều kiện đại số Lie được suy ra từ các thuộc tính phổ thuần túy. Chúng tôi kết thúc bài báo bằng cách chứng minh rằng khả năng kiểm soát gần đúng và kiểm soát chính xác là các thuộc tính tương đương đối với các hệ thống lượng tử có kích thước hữu hạn tổng quát.
Từ khóa
#hệ thống lượng tử #khả năng kiểm soát #giá trị riêng #giao điểm nón #điều khiển adiabaticTài liệu tham khảo
Adami, R., Boscain, U.: Controllability of the Schrödinger equation via intersection of eigenvalues. In: Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control, pp. 1080–1085 (2005)
Albertini F., D’Alessandro D.: Notions of controllability for bilinear multilevel quantum systems. IEEE Trans. Automat. Control 48(8), 1399–1403 (2003)
Ball J.M., Marsden J.E., Slemrod M.: Controllability for distributed bilinear systems. SIAM J. Control Optim. 20(4), 575–597 (1982)
Barut A.O., Rączka R.: Theory of Group Representations and Applications, 2nd edn. World Scientific Publishing Co., Singapore (1986)
Beauchard K.: Local controllability of a 1-D Schrödinger equation. J. Math. Pures Appl. (9) 84(7), 851–956 (2005)
Beauchard K., Coron J.-M.: Controllability of a quantum particle in a moving potential well. J. Funct. Anal. 232(2), 328–389 (2006)
Beauchard K., Laurent C.: Local controllability of 1D linear and nonlinear Schrödinger equations with bilinear control. J. Math. Pures Appl. 94(5), 520–554 (2010)
Beauchard K., Nersesyan V.: Semi-global weak stabilization of bilinear Schrödinger equations. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 348(19–20), 1073–1078 (2010)
Bloch A.M., Brockett R.W., Rangan C.: Finite controllability of infinite-dimensional quantum systems. IEEE Trans. Automat. Control 55(8), 1797–1805 (2010)
Born M., Fock V.: Beweis des adiabatensatzes. Zeitschrift für Physik A Hadrons Nuclei 51(3–4), 165–180 (1928)
Boscain U., Caponigro M., Chambrion T., Sigalotti M.: A weak spectral condition for the controllability of the bilinear Schrödinger equation with application to the control of a rotating planar molecule. Comm. Math. Phys. 311(2), 423–455 (2012)
Boscain U., Caponigro M., Sigalotti M.: Multi-input Schrödinger equation: controllability, tracking, and application to the quantum angular momentum. J. Differ. Eq. 256(11), 3524–3551 (2014)
Boscain U., Charlot G., Gauthier J.-P., Guérin S., Jauslin H.-R.: Optimal control in laser-induced population transfer for two- and three-level quantum systems. J. Math. Phys. 43(5), 2107–2132 (2002)
Boscain, U., Chertovskih, R.A., Gauthier, J.P., Remizov, A.O.: Hypoelliptic diffusion and human vision: a semidiscrete new twist. SIAM J. Imaging Sci. 7(2), 669–695 (2014)
Boscain U., Chittaro F., Mason P., Sigalotti M.: Adiabatic control of the Schroedinger equation via conical intersections of the eigenvalues. IEEE Trans. Automat. Control 57(8), 1970–1983 (2012)
Boussaid N., Caponigro M., Chambrion T.: Weakly-coupled systems in quantum control. IEEE Trans. Automat. Control. 58(9), 2205–2216 (2013)
Brockett, R., Rangan, C., Bloch, A.: The controllability of infinite quantum systems. In: Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control, pp. 428–433 (2003)
Brockett, R.W.: Lie theory and control systems defined on spheres. SIAM J. Appl. Math., 25, 213–225, 1973. Lie algebras: applications and computational methods (Conf., Drexel Univ., Philadelphia, Pa., 1972)
Burgarth D., Yuasa K.: Quantum system identification. Phys. Rev. Lett. 108(8), 080502 (2012)
Chambrion T.: Periodic excitations of bilinear quantum systems. Automatica 48(9), 2040–2046 (2012)
Chambrion T., Mason P., Sigalotti M., Boscain U.: Controllability of the discrete-spectrum Schrödinger equation driven by an external field. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 26(1), 329–349 (2009)
Chittaro, F., Mason, P.: Adiabatic control of quantum control systems with three inputs, Preprint
Cole J.H., Schirmer S.G., Greentree A.D., Wellard C.J., Oi D.K., Hollenberg L.C.: Identifying an experimental two-state hamiltonian to arbitrary accuracy. Phys. Rev. A 71(6), 062312 (2005)
D’Alessandro, D.: Introduction to quantum control and dynamics. In: Applied Mathematics and Nonlinear Science Series. Chapman, Hall/CRC, Boca Raton (2008)
Dixmier J.: Les C*-algèbres et leurs représentations. Cahiers Scientifiques, Fasc. XXIX. Gauthier-Villars & Cie, Éditeur-Imprimeur, Paris (1964)
El Assoudi R., Gauthier J.P., Kupka I.A.K.: On subsemigroups of semisimple Lie groups. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 13(1), 117–133 (1996)
Ervedoza S., Puel J.-P.: Approximate controllability for a system of Schrödinger equations modeling a single trapped ion. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 26(6), 2111–2136 (2009)
Guérin, S., Jauslin, H.: Control of quantum dynamics by laser pulses: Adiabatic Floquet theory. In: Advances in Chemical Physics, vol. 125 (2003)
Hilgert, J., Hofmann, K.H., Lawson, J.D.: Lie groups, convex cones, and semigroups. In: Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, Oxford Science Publications (1989)
Illner R., Lange H., Teismann H.: Limitations on the control of Schrödinger equations. ESAIM Control Optim. Calc. Var. 12(4), 615–635 (2006)
Jurdjevic, V.: Geometric control theory. In: Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 52. Cambridge University Press, Cambridge (1997)
Jurdjevic V., Sussmann H.J.: Control systems on Lie groups. J. Differ. Equ. 12, 313–329 (1972)
Keyl, M., Zeier, R., Schulte-Herbrueggen, T.: Controlling several atoms in a cavity. New J. Phys. 16, 065010 (2014). doi:10.1088/1367-2630/16/6/065010
Law C.K., Eberly J.H.: Arbitrary control of a quantum electro-magnetic field. Phys. Rev. Lett. 76(7), 1055–1058 (1996)
Leghtas Z., Turinici G., Rabitz H., Rouchon P.: Hamiltonian identification through enhanced observability utilizing quantum control. IEEE Trans. Autom. Control 57(10), 2679–2683 (2012)
Mirrahimi M.: Lyapunov control of a quantum particle in a decaying potential. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 26(5), 1743–1765 (2009)
Nersesyan V.: Global approximate controllability for Schrödinger equation in higher Sobolev norms and applications. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 27(3), 901–915 (2010)
Nersesyan V., Nersisyan H.: Global exact controllability in infinite time of Schrödinger equation. J. Math. Pures Appl. (9) 97(4), 295–317 (2012)
Pazy, A.: Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. In: Applied Mathematical Sciences Series, Springer, New York (1983)
Rellich, F.: Perturbation theory of eigenvalue problems. Assisted by J. Berkowitz. With a preface by Jacob T. Schwartz. Gordon and Breach Science Publishers, New York (1969)
Shore, B.W.: The Theory of Coherent Atomic Excitation, vol. 2 Set. Wiley-VCH, New York (1996)
Smith P.A.: Everywhere dense subgroups of Lie groups. Bull. Amer. Math. Soc. 48, 309–312 (1942)
Teufel, S.: Adiabatic perturbation theory in quantum dynamics. In: Lecture Notes in Mathematics, vol. 1821. Springer, Berlin (2003)
Turinici, G.: On the controllability of bilinear quantum systems. In: Defranceschi, M., Le Bris, C. (eds.) Mathematical Models and Methods for ab Initio Quantum Chemistry. Lecture Notes in Chemistry, vol. 74. Springer, Berlin (2000)
von Neumann, J., Wigner, E.: überdas Verhalten von Eigenwerten bei Adiabatischen Prozessen. Z. Phys. 30 ,467–470 (1929)
Weil, A.: L’intégration dans les groupes topologiques et ses applications. Actual. Sci. Ind., no. 869. Hermann et Cie., Paris, (1940) (This book has been republished by the author at Princeton, N. J., 1941.)
Yuan, H., Lloyd, S.: Controllability of the coupled spin-\({\frac{1}{2}}\) harmonic oscillator system. Phys. Rev. A (3) 75(5), 052331 (2007)