[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"_public_topic_publications_%C4%91a%20th%E1%BB%A9c{\"limit\":5}":3,"_public_topic_byId_đa thức":11},{"code":4,"data":5,"meta":10},"SUCCESS",{"latest":6,"mostCited":7,"vietnamFeatured":8,"vietnamLatest":9},[],[],[],[],null,{"code":4,"data":12,"meta":10},{"id":13,"title":14,"description":15,"content":16,"term":13,"englishTitle":17,"synonyms":18,"definition":21,"discipline":22,"references":23,"faqs":45,"createUser":55,"publishUser":10,"keywords":59,"keywordCount":10,"enrichTopicLink":60,"status":61,"createTime":62,"updateTime":63,"publishTime":10,"linkEnrichedTime":10,"publicationScanTime":10,"contentErrorMessage":10,"viewCount":64,"relateTopics":65},"đa thức","Đa thức: Định nghĩa, bậc, các phép toán và định lý đại số","Đa thức là cấu trúc đại số nền tảng trong toán học biểu diễn tổng các đơn thức, giữ vai trò trung tâm trong giải tích, đại số và tính toán khoa học.","\u003Cp>\u003Cstrong>Đa thức\u003C\u002Fstrong> (tiếng Anh: \u003Cem>polynomial\u003C\u002Fem>) là một biểu thức đại số gồm tổng của hữu hạn các đơn thức, trong đó mỗi đơn thức là tích của một hệ số xác định với các biến số nâng lên lũy thừa nguyên không âm. Đa thức là một trong những khái niệm nền tảng và lâu đời nhất của toán học thuần túy cũng như toán học ứng dụng.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Định nghĩa và dạng tổng quát\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Trong trường hợp tổng quát một biến \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">x\u003C\u002Fscript>, một đa thức bậc \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">n\u003C\u002Fscript> với hệ số thuộc trường số thực \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">\\mathbb{R}\u003C\u002Fscript> hoặc trường số phức \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">\\mathbb{C}\u003C\u002Fscript> được biểu diễn dưới dạng chuẩn tắc:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Cscript type=\"math\u002Ftex; mode=display\">P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \\dots + a_1 x + a_0\u003C\u002Fscript>\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Trong đó:\u003C\u002Fp>\n\u003Cul>\n\u003Cli>\u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">x\u003C\u002Fscript> là biến số (ẩn số);\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">a_n, a_{n-1}, \\dots, a_1, a_0\u003C\u002Fscript> là các hệ số đại số, với \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">a_n \\neq 0\u003C\u002Fscript>;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">n\u003C\u002Fscript> là số nguyên không âm biểu thị bậc của đa thức, ký hiệu là \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">\\deg(P) = n\u003C\u002Fscript>;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">a_n\u003C\u002Fscript> được gọi là hệ số cao nhất (leading coefficient) và \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">a_0\u003C\u002Fscript> là hệ số tự do (constant term).\u003C\u002Fli>\n\u003C\u002Ful>\n\u003Cp>Ví dụ, xét đa thức bậc 4 sau đây:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Cscript type=\"math\u002Ftex; mode=display\">P(x) = 7x^4 - 2x^3 + 5\u003C\u002Fscript>\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Ở đa thức này, bậc cao nhất là 4, hệ số cao nhất là 7, hệ số của số hạng bậc 3 là -2, hệ số của số hạng bậc 2 và bậc 1 bằng 0, và hệ số tự do là 5.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Các phép toán đại số trên đa thức\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Tập hợp tất cả các đa thức một biến với hệ số trong một trường \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">K\u003C\u002Fscript> tạo thành một vành đa thức, ký hiệu là \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">K[x]\u003C\u002Fscript>. Các phép toán số học cơ bản được định nghĩa chặt chẽ trên vành này:\u003C\u002Fp>\n\u003Cul>\n\u003Cli>\u003Cstrong>Phép cộng và trừ:\u003C\u002Fstrong> Thực hiện bằng cách cộng hoặc trừ các hệ số của các đơn thức đồng bậc. Bậc của tổng thỏa mãn \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">\\deg(P \\pm Q) \\leq \\max(\\deg P, \\deg Q)\u003C\u002Fscript>.\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>Phép nhân:\u003C\u002Fstrong> Áp dụng tính chất phân phối và quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số. Bậc của tích hai đa thức khác không thỏa mãn \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">\\deg(P \\cdot Q) = \\deg P + \\deg Q\u003C\u002Fscript>.\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>Phép chia có dư (Thuật toán Euclid):\u003C\u002Fstrong> Với hai đa thức \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">f(x)\u003C\u002Fscript> và \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">g(x)\u003C\u002Fscript> với \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">g(x) \\neq 0\u003C\u002Fscript>, luôn tồn tại duy nhất cặp đa thức thương \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">q(x)\u003C\u002Fscript> và đa thức dư \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">r(x)\u003C\u002Fscript> sao cho:\u003C\u002Fli>\n\u003C\u002Ful>\n\u003Cp>\u003Cscript type=\"math\u002Ftex; mode=display\">f(x) = q(x)g(x) + r(x)\u003C\u002Fscript>\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Trong đó hoặc \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">r(x) = 0\u003C\u002Fscript> hoặc \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">\\deg(r) \u003C \\deg(g)\u003C\u002Fscript>.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Đạo hàm và tích phân của đa thức\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Trong giải tích toán học, đa thức là lớp hàm giải tích trơn vô hạn lần (\u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">C^\\infty\u003C\u002Fscript>). Đạo hàm và nguyên hàm của đa thức có thể tính trực tiếp bằng các công thức giải tích giải tích tường minh:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Cscript type=\"math\u002Ftex; mode=display\">\\frac{d}{dx} \\left( a_n x^n \\right) = n a_n x^{n-1}\u003C\u002Fscript>\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Ví dụ với một đa thức cụ thể bậc 4:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Cscript type=\"math\u002Ftex; mode=display\">\\frac{d}{dx} \\left( 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7 \\right) = 12x^3 - 4x + 5\u003C\u002Fscript>\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Tương tự, phép tính nguyên hàm của từng đơn thức tuân theo quy tắc lũy thừa tổng quát:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Cscript type=\"math\u002Ftex; mode=display\">\\int a_n x^n \\, dx = \\frac{a_n}{n+1} x^{n+1} + C\u003C\u002Fscript>\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Đa thức nhiều biến\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Khái niệm đa thức mở rộng tự nhiên cho trường hợp nhiều biến số độc lập. Một đa thức hai biến \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">x, y\u003C\u002Fscript> có dạng tổng các đơn thức dạng \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">a_{ij} x^i y^j\u003C\u002Fscript>. Ví dụ:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Cscript type=\"math\u002Ftex; mode=display\">P(x, y) = 3x^2y + 2xy^2 - y + 4\u003C\u002Fscript>\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Bậc tổng cộng của đa thức nhiều biến là giá trị lớn nhất của tổng số mũ \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">i + j\u003C\u002Fscript> trong tất cả các đơn thức thành phần có hệ số khác không.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Định lý cơ bản của đại số và nghiệm của đa thức\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Một bài toán trung tâm của đại số là tìm nghiệm của phương trình đa thức \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">P(x) = 0\u003C\u002Fscript>. Theo Định lý cơ bản của đại số (Fundamental Theorem of Algebra) được chứng minh bởi Carl Friedrich Gauss, mọi đa thức bậc \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">n \\geq 1\u003C\u002Fscript> với hệ số phức đều có ít nhất một nghiệm phức. Hệ quả trực tiếp là đa thức bậc \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">n\u003C\u002Fscript> luôn có thể phân tích thành tích của đúng \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">n\u003C\u002Fscript> thừa số tuyến tính trên trường số phức \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">\\mathbb{C}\u003C\u002Fscript>.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Ứng dụng thực tiễn\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Đa thức có phạm vi ứng dụng rộng lớn trong khoa học và kỹ thuật:\u003C\u002Fp>\n\u003Cul>\n\u003Cli>\u003Cstrong>Xấp xỉ hàm số và phân tích số trị:\u003C\u002Fstrong> Khai triển chuỗi Taylor và đa thức nội suy Lagrange\u002FChebyshev cho phép máy tính tính toán gần đúng các hàm số siêu việt (lượng giác, mũ, logarit) với độ chính xác cao.\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>Đồ họa máy tính và thiết kế CAD:\u003C\u002Fstrong> Các đường cong Bézier và B-spline xây dựng từ đa thức Bernstein là công cụ cốt lõi trong dựng hình vector và tạo hình bề mặt 3D.\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>Mật mã học và lý thuyết mã hóa:\u003C\u002Fstrong> Vành đa thức trên các trường hữu hạn \u003Cscript type=\"math\u002Ftex\">\\mathbb{F}_q\u003C\u002Fscript> tạo nền tảng cho các hệ mã hóa khóa công khai và mã sửa sai (Reed-Solomon, BCH).\u003C\u002Fli>\n\u003C\u002Ful>\n","Polynomial",[19,20],"biểu thức đa thức","hàm đa thức","Đa thức là một biểu thức đại số gồm tổng của hữu hạn các đơn thức, trong đó mỗi đơn thức là tích của một hệ số xác định với các biến số nâng lên lũy thừa nguyên không âm.","NATURAL_SCIENCES",[24,31,38],{"citationText":25,"title":26,"authors":27,"source":28,"year":29,"doi":30,"url":10},"Lang S. (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics, vol 211. Springer, New York, NY. doi:10.1007\u002F978-1-4613-0041-0","Algebra","Lang Serge","Springer New York",2002,"10.1007\u002F978-1-4613-0041-0",{"citationText":32,"title":33,"authors":34,"source":35,"year":36,"doi":37,"url":10},"Cox D.A., Little J., O'Shea D. (2015). Ideals, Varieties, and Algorithms. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, Cham. doi:10.1007\u002F978-3-319-16721-3","Ideals, Varieties, and Algorithms","Cox David A., Little John, O'Shea Donal","Springer Cham",2015,"10.1007\u002F978-3-319-16721-3",{"citationText":39,"title":40,"authors":41,"source":42,"year":43,"doi":44,"url":10},"Bini D.A., Pan V.Y. (1994). Polynomial and Matrix Computations: Fundamental Algorithms. Birkhäuser, Boston, MA. doi:10.1007\u002F978-1-4612-0265-3","Polynomial and Matrix Computations","Bini Dario Andrea, Pan Victor Y.","Birkhäuser Boston",1994,"10.1007\u002F978-1-4612-0265-3",[46,49,52],{"question":47,"answer":48},"Bậc của đa thức được xác định như thế nào?","Bậc của đa thức một biến là số mũ cao nhất của biến có hệ số khác 0. Đối với đa thức nhiều biến, bậc là tổng số mũ lớn nhất của các biến trong một đơn thức thành phần.",{"question":50,"answer":51},"Định lý cơ bản của đại số phát biểu điều gì về nghiệm của đa thức?","Định lý cơ bản của đại số khẳng định rằng mọi đa thức một biến bậc n (với n ≥ 1) có hệ số phức đều có đúng n nghiệm trong trường số phức (tính cả nghiệm bội).",{"question":53,"answer":54},"Đa thức có ứng dụng gì trong tính toán khoa học và kỹ thuật?","Đa thức được dùng để xấp xỉ các hàm phức tạp (chuỗi Taylor, đa thức Lagrange), giải phương trình vi phân, mã hóa dữ liệu và đồ họa máy tính (đường cong Bézier).",{"id":56,"researcherId":10,"name":57,"imageUrl":58},2633,"Hoài Đặng","https:\u002F\u002Flh3.googleusercontent.com\u002Fa\u002FACg8ocLVXVafUxrnnC_H60UeQdpLE3UgeKGCSesypz_6Vi59B-n9C41A=s96-c",[13],false,"PUBLISHED","2025-05-23T10:15:18.340+00:00","2026-09-02T11:13:05.627+00:00",341,[66,69,72,75,78,87,92,97,101,106],{"id":67,"title":68,"term":67,"englishTitle":10,"definition":10,"discipline":10,"disciplineCode":10,"disciplineLabel":10,"disciplineColor":10,"disciplineIcon":10},"phương pháp đại số","Phương pháp đại số là gì? Các nghiên cứu khoa học liên quan",{"id":70,"title":71,"term":70,"englishTitle":10,"definition":10,"discipline":10,"disciplineCode":10,"disciplineLabel":10,"disciplineColor":10,"disciplineIcon":10},"mô hình arima","Mô hình arima là gì? Các công bố khoa học về Mô hình arima",{"id":73,"title":74,"term":73,"englishTitle":10,"definition":10,"discipline":10,"disciplineCode":10,"disciplineLabel":10,"disciplineColor":10,"disciplineIcon":10},"thuật toán xấp xỉ","Thuật toán xấp xỉ là gì? Các bài nghiên cứu khoa học",{"id":76,"title":77,"term":76,"englishTitle":10,"definition":10,"discipline":10,"disciplineCode":10,"disciplineLabel":10,"disciplineColor":10,"disciplineIcon":10},"tối ưu hóa hệ thống","Tối ưu hóa hệ thống là gì? Các bài báo nghiên cứu khoa học",{"id":79,"title":80,"term":79,"englishTitle":81,"definition":82,"discipline":22,"disciplineCode":83,"disciplineLabel":84,"disciplineColor":85,"disciplineIcon":86},"đại số","Đại số là gì? Các nghiên cứu khoa học liên quan đến Đại số","algebra","Đại số là phân ngành toán học nghiên cứu các phép toán, quan hệ và cấu trúc toán học trừu tượng thông qua hệ thống ký hiệu và biến số.","natural-sciences","Khoa học tự nhiên","#0E9F9C","atom",{"id":88,"title":89,"term":88,"englishTitle":90,"definition":91,"discipline":22,"disciplineCode":83,"disciplineLabel":84,"disciplineColor":85,"disciplineIcon":86},"số nguyên tố","Số nguyên tố là gì? Các nghiên cứu khoa học liên quan","prime number","Số nguyên tố (Prime Number) là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có đúng hai ước số dương phân biệt là 1 và chính nó, là những khối cấu trúc cơ bản không thể phân tích của tập hợp các số nguyên.",{"id":93,"title":94,"term":93,"englishTitle":95,"definition":96,"discipline":22,"disciplineCode":83,"disciplineLabel":84,"disciplineColor":85,"disciplineIcon":86},"phương pháp số học","Phương pháp số học là gì? Các thuật toán tính toán giải tích số","Numerical Methods","Phương pháp số học (phương pháp tính \u002F giải tích số) là phân ngành toán học ứng dụng chuyên nghiên cứu, phát triển và phân tích các thuật toán tính toán xấp xỉ để giải các bài toán toán học liên tục phức tạp trên máy tính kỹ thuật số.",{"id":98,"title":99,"term":98,"englishTitle":98,"definition":100,"discipline":22,"disciplineCode":83,"disciplineLabel":84,"disciplineColor":85,"disciplineIcon":86},"proton","Proton là gì? Cấu trúc và ứng dụng của Proton","Proton là một hạt hạ nguyên tử bền vững thuộc nhóm baryon cấu tạo từ hai quark lên và một quark xuống, mang điện tích nguyên tố dương và có khối lượng nghỉ xấp xỉ 1.6726 x 10^-27 kg nằm trong hạt nhân nguyên tử.",{"id":102,"title":103,"term":102,"englishTitle":104,"definition":105,"discipline":22,"disciplineCode":83,"disciplineLabel":84,"disciplineColor":85,"disciplineIcon":86},"nhiệt độ nóng chảy","Nhiệt độ nóng chảy là gì? Các nghiên cứu khoa học liên quan","nhiet do nong chay","khái niệm và đối tượng nghiên cứu cơ bản trong khoa học tự nhiên, phản ánh các đặc trưng bản chất, cơ chế vận hành và các quy luật tương tác hệ thống trong thực tiễn.",{"id":107,"title":108,"term":107,"englishTitle":109,"definition":110,"discipline":22,"disciplineCode":83,"disciplineLabel":84,"disciplineColor":85,"disciplineIcon":86},"hằng số tốc độ","Hằng số tốc độ là gì? Các bài nghiên cứu khoa học liên quan","rate constant","Hằng số tốc độ (Reaction Rate Constant, ký hiệu k) là một hệ số tỷ lệ đặc trưng trong phương trình động học biểu thị tốc độ của phản ứng hóa học khi nồng độ của tất cả các chất phản ứng bằng đơn vị."]