Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Đánh Giá Lỗi Tối Ưu Đối Với Phương Pháp Galerkin Gián Đoạn Đối Với Phương Trình Sóng
Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tôi suy ra các đánh giá lỗi tối ưu theo thứ tự cho các phương án bán rời rạc không gian và hoàn toàn rời rạc để giải số phương trình sóng bậc hai. Các phương án số được xây dựng với phân rời Galerkin gián đoạn (DG) cho biến không gian và xấp xỉ sai phân hữu hạn bậc hai trung tâm cho biến thời gian. Dưới những giả định đều đặn thích hợp về nghiệm, các phương án được chứng minh là có các ranh giới lỗi tối ưu theo thứ tự dựa trên kích thước lưới không gian và bước thời gian. Trong nghiên cứu của Grote và Schötzau (J Sci Comput 40:257–272, 2009), một phương án DG hoàn toàn rời rạc được nghiên cứu với một phân rời thời gian bằng sai phân hữu hạn rõ ràng nơi yêu cầu điều kiện CFL về kích thước lưới và bước thời gian, và các đánh giá lỗi tối ưu theo thứ tự được suy ra trong chuẩn
$$L^2(\Omega )$$
. So sánh, đối với các phương án DG hoàn toàn rời rạc của chúng tôi, chúng tôi không yêu cầu điều kiện CFL về kích thước lưới và bước thời gian, và các đánh giá lỗi tối ưu theo thứ tự của chúng tôi được suy ra cho chuẩn tương tự như
$$H^1(\Omega )$$
và
$$L^2(\Omega )$$
. Kết quả mô phỏng số được báo cáo để minh họa những thứ tự hội tụ đã dự đoán theo lý thuyết trong chuẩn
$$H^1(\Omega )$$
và
$$L^2(\Omega )$$
.
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Abraham, D.S., Marques, A.N., Nave, J.-C.: A correction function method for the wave equation with interface jump conditions. J. Comput. Phys. 353, 281–299 (2018)
Arnold, D.N.: An interior penalty finite element method with discontinuous elements. SIAM J. Numer. Anal. 19, 742–760 (1982)
Arnold, D.N., Brezzi, F., Cockburn, B., Marini, L.D.: Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems. SIAM J. Numer. Anal. 39, 1749–1779 (2002)
Baker, G.A.: Error estimates for finite element methods for second-order hyperbolic equations. SIAM J. Numer. Anal. 13, 564–576 (1976)
Bassi, F., Rebay, S.: A high-order accurate discontinuous finite element method for the numerical solution of the compressible Navier–Stokes equations. J. Comput. Phys. 131, 267–279 (1997)
Bassi, F., Rebay, S., Mariotti, G., Pedinotti, S., Savini, M.: A high-order accurate discontinuous finite element method for inviscid and viscous turbomachinery flows. In: Decuypere, R., Dibelius, G. (eds.) Proceedings of 2nd European Conference on Turbomachinery, Fluid Dynamics and Thermodynamics, pp. 99–108. Technologisch Instituut, Antwerpen (1997)
Bécache, E., Joly, P., Tsogka, C.: An analysis of new mixed finite elements for the approximation of wave propagation problems. SIAM J. Numer. Anal. 37, 1053–1084 (2000)
Bey, K., Oden, J.: \(hp\)-Version discontinuous Galerkin methods for hyperbolic conservation laws. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 133, 259–286 (1996)
Britt, S., Tsynkov, S., Turkel, E.: Numerical solution of the wave equation with variable wave speed on nonconforming domains by high-order difference potentials. J. Comput. Phys. 354, 26–42 (2018)
Brezzi, F., Manzini, G., Marini, D., Pietra, P., Russo, A.: Discontinuous finite elements for diffusion problems. In: Atti Convegno in onore di F. Brioschi (Milan, 1999), Istituto Lombardo. Accademia di Scienze e Lettere, Milan, Italy, pp. 197–217 (1999)
Castillo, P., Cockburn, B., Schötzau, D., Schwab, C.: Optimal a priori error estimates for the \(hp\)-version of the local discontinuous Galerkin method for convection–diffusion problems. Math. Comput. 71, 455–478 (2002)
Cockburn, B., Kanschat, G., Schötzau, D.: A locally conservative LDG method for the incompressible Navier–Stokes equations. Math. Comput. 74, 1067–1095 (2005)
Cockburn, B., Karniadakis, G.E., Shu, C.-W. (eds.): Discontinuous Galerkin Methods Theory, Computation and Applications, Lecture Notes in Computational Science and Engineering, vol. 11. Springer, New York (2000)
Cockburn, B., Shu, C.-W.: The local discontinuous Galerkin method for time-dependent convection–diffusion systems. SIAM J. Numer. Anal. 35, 2440–2463 (1998)
Cowsar, L.C., Dupont, T.F., Wheeler, M.F.: A-priori estimates for mixed finite element methods for the wave equations. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 82, 205–222 (1990)
Douglas Jr., J., Dupont, T.: Interior Penalty Procedures for Elliptic and Parabolic Galerkin Methods. Lecture Notes in Physics, vol. 58. Springer, Berlin (1976)
Dupont, T.: \(L^2\)-estimates for Galerkin methods for second-order hyperbolic equations. SIAM J. Numer. Anal. 10, 880–889 (1973)
Grote, M., Schneebeli, A., Schötzau, D.: Discontinuous Galerkin finite element method for the wave equation. SIAM J. Numer. Anal. 44, 2408–2431 (2006)
Grote, M., Schötzau, D.: Optimal error estimates for the fully discrete interior penalty DG method for the wave equation. J. Sci. Comput. 40, 257–272 (2009)
Han, W., Huang, J., Eichholz, J.: Discrete-ordinate discontinuous Galerkin methods for solving the radiative transfer equation. SIAM J. Sci. Comput. 32, 477–497 (2010)
Han, W., Sofonea, M.: Quasistatic Contact Problems in Viscoelasticity and Viscoplasticity, Studies in Advanced Mathematics, vol. 30. Americal Mathematical Society/International Press, Providence/Somerville (2002)
Houston, P., Schwab, C., Süli, E.: Stabilized \(hp\)-finite element methods for hyperbolic problems. SIAM J. Numer. Anal. 37, 1618–1643 (2000)
Hu, C., Shu, C.-W.: A discontinuous Galerkin finite element method for Hamilton–Jacobi equations. SIAM J. Sci. Comput. 21, 666–690 (1999)
Kornhuber, R., Lepsky, O., Hu, C., Shu, C.-W.: The analysis of the discontinuous Galerkin method for Hamilton–Jacobi equations. Appl. Numer. Math. 33, 423–434 (2000)
Lions, J.-L., Magenes, E.: Non-Homogeneous Boundary Value Problems and Applications, vol. I. Springer, New York (1972)
Perugia, I., Schötzau, D.: An \(hp\)-analysis of the local discontinuous Galerkin method for diffusion problems. J. Sci. Comput. 17, 561–571 (2002)
Wang, F., Han, W., Cheng, X.: Discontinuous Galerkin methods for solving elliptic variational inequalities. SIAM J. Numer. Anal. 48, 708–733 (2010)
Wang, F., Han, W., Cheng, X.: Discontinuous Galerkin methods for solving Signorini problem. IMA J. Numer. Anal. 31, 1754–1772 (2011)
Wang, F., Han, W., Cheng, X.: Discontinuous Galerkin methods for solving a quasistatic contact problem. Numer. Math. 126, 771–800 (2014)
Wang, F., Han, W., Eichholz, J., Cheng, X.: A posteriori error estimates of discontinuous Galerkin methods for obstacle problems. Nonlinear Anal. Real World Appl. 22, 664–679 (2015)
Wang, F., Zhang, T., Han, W.: \(C^0\) discontinuous Galerkin methods for a Kirchhoff plate contact problem. J. Comput. Math. (to appear)
Wheeler, M.F.: An elliptic collocation finite element method with interior penalties. SIAM J. Numer. Anal. 15, 152–161 (1978)